芒格100模型-011 贝叶斯更新｜日报983

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医生给你做了一次癌症检查。这种癌症的发病率是万分之一,测试准确率99%(正检出率/真阳性率99%,假阳性率1%)。现在,结果出来了:你是阳性。

请问,你实际得了癌症的几率是多少?

没必要先把自己吓死。理解贝叶斯更新 (Bayesian Updating) 这个思维模型之后,计算几秒钟,你就知道实际概率不到 1%。

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为什么我们需要贝叶斯更新? 因为“不完美信息”。

在现实世界中,我们常常面对不完美甚至模糊的证据。信息的获取具有时延性、片面性乃至偏差性:一方面,我们无法同时、完整且即时获取所有相关信息;另一方面,我们也可能受到认知偏见、情感、先入之见的影响。这些都决定了任何基于概率的判断,都是带有不确定性的。

贝叶斯更新之所以重要,就在于它提供了一个动态思维框架,让我们不必固守于最初的认知,也不必在出现新信息时盲目“推翻一切”。相反,贝叶斯思维要求我们在“先验概率”与“新证据”之间找到理性的平衡,并通过规律化、系统化的“更新”来逐步逼近真相。这种思维模型,能极大提高我们在高不确定性环境下的决策品质。

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贝叶斯更新是以18世纪数学家托马斯·贝叶斯(Thomas Bayes)命名的概率推理方法,其核心思想是:在获得新证据后,通过贝叶斯公式调整对某一事件发生的信念概率。

在一个充满不确定性的世界中,信息往往不完全,我们的认知也常常基于有限的数据和经验。贝叶斯更新提供了一个动态、渐进修正认知的模型,帮助我们在复杂环境中做出更理性的判断。

数学基础

要运用这个工具,理解并掌握这些基础数学概念是必不可少的(总有人以为思维模型是脱离具体知识的大脑魔法)。贝叶斯定理是贝叶斯更新的核心,它描述了如何在获得新证据后更新先验概率。

先验概率(Prior Probability) :在获得新证据之前,我们对某一事件发生的初始信念或估计。例如:在医疗诊断中,医生可能根据患者的年龄、性别和病史,估计患者患某种疾病的初始概率;在投资决策中,投资者可能基于历史数据和基本面分析,估计某公司未来盈利增长的可能性。

先验概率反映了我们在没有新信息时的初始判断,它可以是主观的(基于经验或直觉),也可以是客观的(基于统计数据)。

似然概率(Likelihood):在新证据出现的情况下,假设某一事件为真的条件下,该证据出现的概率。例如:在医疗诊断中,如果患者患有流感,那么咳嗽和发烧的似然(概率)很高;在司法推理中,如果嫌疑人有罪,那么DNA匹配的似然(概率)也很高。

似然衡量了新证据与假设之间的吻合程度,是贝叶斯更新的关键环节。

后验概率(Posterior Probability) :在考虑新证据后,对事件发生的更新信念。它是通过贝叶斯公式计算得出的,综合了先验概率和似然。

贝叶斯公式 :贝叶斯更新的数学基础,其表达式为:

其中:

E 是 evidence(证据)的缩写,H 是 hypothesis(假设)的缩写;
是后验概率,即在证据
的情况下,假设
为真的概率。
是似然概率,即在假设
为真的情况下,观察到证据
的概率。
是先验概率,即在获得证据
之前,假设
为真的概率。
是证据概率,即在所有可能的情况下观察到证据
的概率。

计算实例

回到开头的例子,

E是证据,是癌症检测阳性,H是假设,是实际得了癌症的几率;
我们需要计算后验概率
:在检测阳性的基础上,我们真实得病的概率;
已知条件中的万分之一得病率是先验概率,所以,
为 0.01%;
已知条件中的测试准确率99%是似然概率,所以,
是 99%;
已知条件中,“正检出率/真阳性率99%,假阳性率1%”,综合患者与非患者两种情况,得出证据概率
接近 1%;

所以,你检出阳性后实际患病概率是后验概率

,结果是 0.01% * 99% / 1%,接近 1%,而不是99%。如果不懂贝叶斯概率,先自己把自己吓死,结果并没有得癌症,那就吃没文化的大亏了。

思想本质

贝叶斯更新的一个重要特点是其迭代性。每当有新证据出现时,我们可以将当前的后验概率作为新的先验概率,再次应用贝叶斯定理进行更新。这种迭代过程使得我们的信念能够随着证据的积累不断优化。

例如,一名科学家在研究某种新药的疗效时,最初基于已有文献估计疗效的先验概率为30%。随后,第一轮临床试验的结果显示疗效显著,科学家通过贝叶斯公式更新后验概率为50%。再后来,第二轮试验结果进一步证实疗效,后验概率可能更新到70%。这一过程体现了贝叶斯更新的动态性和迭代性。

思想核心:先验、证据、似然与后验在多数日常场景下,我们未必需要把公式写出来再套,但理解公式背后的逻辑能帮助我们形成更牢固的思维方式。

在思维层面,贝叶斯公式意味着:当我们发现了新证据

时,就要用贝叶斯公式把我们原本对

的信念(先验)更新成后验,然后新的后验往往会在下一次遇到新的证据时,转化为更进一步的先验,再继续更新。周而复始,动态迭代,这就是贝叶斯思维的基本脉络。

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如何培养贝叶斯思维?

要培养贝叶斯思维,这几点不可或缺:

学习基础概念:理解先验概率、后验概率、贝叶斯定理等基本概念;
实践应用:在日常生活中尝试用贝叶斯思维来分析问题,例如在做决策时明确你的先验信念和新证据。
反思与调整:定期回顾自己的决策过程,分析哪些先验是准确的,哪些证据是关键的,从而不断优化自己的判断能力。
阅读相关文献:深入学习贝叶斯统计、机器学习等领域的知识,了解贝叶斯方法在实际中的应用。

应用场景

医疗诊断在医疗诊断中,医生常常需要根据患者的症状和检查结果来判断疾病的可能性。贝叶斯更新提供了一个系统性的框架来处理这种不确定性。

先验概率:医生根据患者的年龄、性别、病史等信息,对某种疾病的初始概率有一个估计。例如,流感在冬季的先验概率较高。
似然概率:根据患者的症状和检查结果,医生可以估计在患有该疾病的情况下出现这些症状的概率。例如,咳嗽和发烧在流感患者中很常见。
后验概率:通过贝叶斯公式,医生可以结合先验概率和似然,计算出患者患有该疾病的更新概率。

假设医生怀疑患者可能患有肺炎。初始时,基于患者的年龄和季节,肺炎的先验概率为10%。随后,患者进行了X光检查,结果显示肺部有阴影。已知在肺炎患者中,X光显示阴影的概率为90%(似然),而在非肺炎患者中,X光显示阴影的概率为5%。通过贝叶斯公式,医生可以计算出患者患有肺炎的后验概率。

机器学习在机器学习中,贝叶斯方法被广泛应用于分类、回归、聚类等任务。贝叶斯推断允许模型在训练过程中不断更新参数的概率分布,从而提高模型的泛化能力。

贝叶斯分类器:例如朴素贝叶斯分类器,它基于贝叶斯定理,通过计算样本属于各个类别的后验概率来进行分类。
贝叶斯网络:一种图形模型,用于表示变量之间的条件依赖关系,广泛应用于因果推理和决策支持。

司法推理在司法领域,贝叶斯更新可以帮助法官和陪审团根据新证据调整对嫌疑人有罪的信念。

先验概率:基于案件的背景信息,如犯罪率、嫌疑人的历史记录等。
似然概率:新证据(如DNA匹配、目击证词等)在嫌疑人有罪和无罪情况下的概率。
后验概率:综合先验概率和似然,更新对嫌疑人有罪的概率。

假设在一个案件中,嫌疑人被指控犯有盗窃罪。初始时,基于犯罪现场的监控录像,嫌疑人有罪的先验概率为50%。随后,警方找到了嫌疑人的指纹与现场指纹匹配。已知在有罪的情况下,指纹匹配的概率为95%,在无罪的情况下,指纹匹配的概率为1%。通过贝叶斯公式,可以计算出嫌疑人有罪的后验概率。

投资决策在投资领域,投资者需要根据市场信息和公司基本面来判断股票的未来表现。贝叶斯更新提供了一个框架,帮助投资者在获得新信息时调整他们的投资策略。

先验概率:基于历史数据和基本面分析,投资者对公司盈利增长的初始估计。
似然概率:新发布的财报、行业新闻等信息在公司盈利增长为真或为假的情况下的概率。
后验概率:结合先验概率和似然,更新对公司盈利增长的信念。

假设投资者对某科技公司的股票持乐观态度,基于过去几年的业绩,估计公司未来一年盈利增长的先验概率为70%。随后,公司发布了新产品,市场反响热烈。已知在盈利增长的情况下,发布成功新产品的概率为80%,在盈利不增长的情况下,发布成功新产品的概率为30%。通过贝叶斯公式,投资者可以更新对公司盈利增长的信念。

日常决策在日常生活中,贝叶斯思维同样适用。例如:

招聘:HR在面试前根据简历对候选人有初步印象(先验),面试过程中获得的反馈(证据)会更新对候选人的评价。
天气预报:我们对天气的预期会根据最新的气象数据不断调整。
购物决策:消费者在购买商品前可能有品牌偏好(先验),但会根据其他消费者的评价(证据)更新购买意愿。

十几亿人都感受深刻的案例

科学精神的一个基本素养是怀疑精神。不是没有证据的怀疑,不是源自人性偏见的、意识形态驱动的怀疑,而是基于概率思维的合理怀疑。具体来说,就是一句话:

非同寻常的主张,需要非同寻常的证据。

根据贝叶斯推理,如果一个主张(H)的先验概率极低,那么必须有极高的似然比证据才能让后验显著上升,否则,我们倾向于保持合理怀疑态度。

2024年,涟水中专的姜萍在阿里巴巴数学竞赛中取得优异成绩,这件事引发了全国十几亿人在几个月时间内的观点撕裂,社会代价不可谓不大。

如果一个人掌握“贝叶斯更新”这个思维工具,他会如何理性分析这件事?

首先,先验概率极低:在贫瘠的教育土壤中(家庭、学校和社会环境),中专生取得超越清北 MIT 学霸的成绩,这件事概率极低;虽然先验概率极低,是小概率事件,但这是有可能的,这也是为什么大家一开始为此振奋,真心祝福;

但是,后验概率的估算,就需要非同寻常的证据:例如虽然是中专,但是父母开明,家庭学风浓厚;虽然其他科目成绩不好,但是读数学有热爱,成绩优异,每天投入5678 小时研究数学;虽然学校不好,但是有好老师;国内的同济版高等数学教材不行,但是人家用了英文教材......

但是我们没有看到这些证据。反而出现了相反的证据:阿里巴巴初赛试题公布,实际看一下,发现知识面和难度达到数学系大四要求,对初中学历的人来说太难;背后的知识体系需要数千小时积累,时间哪里来;考试需要用 latex写公式,没有自己的电脑,怎么能掌握需要几百小时才能精通的 latex 技能?......

这种分析能力,并不是对普通人和文科生的要求,但是,在公共平台上公开发表意见的人最起码应该动脑子思考。这件事虽然过去了,人们应该多少吸取一点有用的教训。

例如,从很多大V在这件事上的言论,就能看出这个人的智力或道德水平,尤其是所谓名校的,理科毕业的,或者数学系的。

当然,有人说过,人们从历史中得出的教训就是,人们永远不会从历史中得出教训🤣

原理:为什么贝叶斯方法能够“逼近真相”?

频率论 vs. 贝叶斯派在传统统计学(频率论)里,概率更多地被视为一个“在无限重复试验中出现某结果的频率”。而贝叶斯则更强调主观信念的调整:对我们关心的事件,根据已有经验(先验)和新证据(似然),不断更新对真实世界的看法。

虽然“主观”一词看上去可能显得“非客观”,但贝叶斯方法背后有严谨的数学支撑:随着新证据样本量的增多,理论上后验分布会越来越接近客观事实。也就是说,在无限多轮迭代中,你若坚持科学、合理的贝叶斯更新,便会越来越了解事件的真实概率。

“逐步逼近”而非“一蹴而就” 我们大脑的快速决策机制经常要求一个“一锤子定音”的答案,但世界远非如此简单。贝叶斯思维的魅力在于:它永远允许下一步有新的改变。当我们意识到自己的判断不可能一次到位时,心态会更开放——愿意接纳新信息,而非固步自封;也不会被一次微小的反例左右,而是理性地考虑证据的完整性和权重,找到理想的“迭代前进”节奏。

如何在决策中真正运用贝叶斯更新?

量化思维:把“不确定”变成区间或概率与其模糊地说“我觉得这个方案可行”或“这股票会涨”,更好的方式是给出某种概率或区间:“我估计它 3 个月内大概率能涨 10% 左右,但我还有 30% 的可能性认为它会横盘或小跌”。这样的表达可以迫使你更清晰地思考“先验是多少?面临什么不确定性?新增证据会如何动摇我的预测?”

保持更新记录:让思维迭代可追踪在面对重大决策时,记录下你初始的判断及理由,然后在每次纳入新证据后做简要笔记,看看自己是如何进行修正的。这样便可在回顾时更好地评估:我最初的先验是否过于乐观?我在面对哪些证据时更新幅度过大或过小?只有在这种“事后复盘”中,才能更好地校准下次的贝叶斯思维过程。

锻炼对“不确定性”的容忍度很多人急于得出明确结论,讨厌“犹豫不决”。但贝叶斯更新提醒我们:不确定性不是懒惰或无能的托辞,而是我们认识世界的正常状态。学会在不确定中前进,一边行动一边收集更多证据,从而不断修正,这才是成熟的思维方式。

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“在不确定的时代,拥抱确定”。毫无疑问,这个世界越发充满不确定性,但是,如果你具备概率思维和贝叶斯更新的相关知识和思维模型,很可能你并不知道如何“拥抱确定”,于是,那句话就只是鸡汤而已。

做一个贝叶斯主义者。

唯有如此,我们才能在越发不确定的时代,找到属于自己的确定。贝叶斯更新不只是一门数学知识,更是一种带有“自省与开放”精神的思维方式。它要求人直面自己的不确定与偏见,也要对证据的权重做更精细的评估。尤其在当今信息爆炸且真假难辨的时代,若能坚持贝叶斯式的“迭代思考”,或许会比那些盲目坚持或轻率推翻更容易接近真相。

第一重价值:它能抵抗我们人性中“逃避改变”或“过度反应”的极端倾向,让决策更加平衡且不失灵活。
第二重价值:在长期迭代中,贝叶斯更新有助于我们形成一种自我校准机制,不断让自己的判断更贴近现实世界。
第三重价值:与其他思维模型结合时,贝叶斯的优势更能显现——它可以为“如何使用新证据”这个环节提供定量或定性的指导,更快排除噪音,保留真正有价值的信息。

因此,贝叶斯更新在芒格100模型中占据重要地位。它的重点并非公式本身,而是它的思想内核:每一次收到新信号,都要让我们的信念配得上最新的世界,而非停留在过去。

知道太多道理,却仍然过不好这一生。因为道理光知道没有用,关键要做到。愿你我,能做到:

成为一个贝叶斯主义者。

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