Summary

本期播客节目深入探讨了哥德尔、艾舍尔与巴赫三位杰出人物的交集和影响,通过分析他们在各自领域中的思想和创作,揭示了跨领域思维的重要性与逻辑与艺术之间的深刻关系,强调了在面对复杂的逻辑和数学问题时,艺术和视觉表达的独特优势。

Takeaways

• 哥德尔、艾舍尔和巴赫展现了跨越性的奇特性,强调多领域思维的重要性。
• 侯世达使用坡道模型和金字塔原理的叙事策略促进读者对哥德尔不完全性定理的理解。
• 通才的跨领域思维能力对个人成就有显著影响,现代教育应保持其多样性。
• 巴赫的音乐中蕴含着深厚的数学思想,与哥德尔的不完整性定理有内在联系。
• 艾舍尔的画作通过视觉化悖论,使复杂的逻辑问题变得直观易懂,彰显艺术的优势。
• 哥德尔对数学基础的革命性影响深刻,挑战了传统数学的理论体系。
• 数学史上的第三次危机显示形式化与不完备性之间的冲突,提出了逻辑的局限性。
• 理解和误解之间的边界体现在数学家对形式化系统的追求,需要保持逻辑与理论的应用范围。

Q&A

Q: 你觉得这个哥德尔、艾舍尔和巴赫他仨的共同特点是什么?

Q: 你觉得哥德尔不完全性定理有什么与音乐和美术等领域的关联?

Q: 侯士达的写作方法有什么特别之处?

Q: 如果从数学的视角来看,你怎么理解巴赫的音乐创作?

Q: 巴赫的音乐结构与哥德尔不完全性定理的关系是什么?

Q: 艾舍尔的画与哥德尔不完全性定理之间的关系是什么?

Q: 为什么艺术能更容易地表达悖论?

Q: Will 老师为什么这么欣赏哥德尔,他是否认为哥德尔的最伟大之处在于推翻了数学大厦的基础呢?

Q: 哥德尔的伟大之处到底在于什么?

Q: 哥德尔不完备性定理的哲学意义是什么?

Q: 哥德尔不完全性定理在现实中的理解和应用有什么局限性?

Keywords

• 不完全性定理: 由数学家库尔特·哥德尔在 1931 年提出的两个重要定理,表明在任何包含算术的递归公理系统中,存在无法通过该系统的公理来证明的真命题。第一个定理表明,任何一致的公理系统都无法证明自己的无限性,第二个定理则展示了这样的系统不可证明其一致性。这些定理对数学的基础产生了深远影响,引发了对形式系统的广泛研究。
• 哥德尔: 库尔特·哥德尔是一位奥地利出生的逻辑学家和数学家,以其在数理逻辑中的贡献而闻名于世。特别是他的不完全性定理改变了人们对数学基础的理解,揭示了即使是最严谨的系统也存在局限性,进而影响了哲学、计算机科学与人工智能等领域的发展。
• 坡道模型: 在逻辑学中,坡道模型是一种用于展示特定性质的数学结构,尤其是在讨论模型论时讲到的。它通过描述集合的特定关系,帮助理解模型内部的复杂关系,以便更好地解析逻辑命题的有效性和复杂性。
• 奇特性: 奇特性是多种科学领域中的一个概念,常用于描述系统或结构的独特行为或特征。在数理逻辑中,奇特性可以指某些非标准模型所展示的超出常规逻辑推理的特性,这往往使得此类模型在研究逻辑的有效性及一致性时非常关键。
• 对位法: 对位法是一种音乐创作技术,通过将两个或多个旋律相互对比和结合,形成和谐的复调作品。在巴赫的音乐中,对位法运用得尤为出色,展现复杂的音乐结构与和声的美感,同时也可以视为一种思维方式,在逻辑和艺术之间架起桥梁。
• 数学危机: 数学危机是指在 19 世纪末到 20 世纪初,数学基础领域面临的一系列困难与挑战。这一时期的主要问题包括数学公理的不一致性和逻辑基础的不完备性。哥德尔的不完全性定理及希尔伯特的计划均是在这一背景下出现,深刻影响了现代数学的发展及其哲学思考。
• 数理逻辑: 数理逻辑是研究逻辑和数学之间关系的一个分支,借助数理工具分析逻辑结构和推理规则。它结合了数学的严谨性和逻辑的抽象性,提供了对命题、证明及其有效性的深入理解,是现代哲学与计算机科学的基础。
• 直觉主义: 直觉主义是一种数学哲学观点,认为数学对象是由我们的直觉所构造的,而不是独立于人类思维存在的。这个观点强调构造性的证明和反对无限性的非构造性存在,而在证明中必须展示具体的构造过程。这一理念对现代数学哲学和教育有着深远的影响。
• 艾舍尔: 荷兰艺术家莫里茨·艾舍尔以其独特的视觉艺术作品而闻名,他的画作常涉及数学概念和无限的空间表现。艾舍尔的艺术作品常常展示出无法实现的空间和物理悖论,突显了逻辑和艺术的深刻联系,反映了数学与视觉艺术之间的跨学科交叉。
• 语义学悖论: 语义学悖论是逻辑学和语言学中的一个重要议题,涉及到语言、意义和真值之间的复杂关系。著名的悖论如 “这个句子是假的” 挑战了传统的真值观,促使人们重新思考语言的本质与逻辑的边界。
• 哥德尔不完备性定理: 哥德尔不完备性定理包含两大定理,表明在任何复杂的公理系统中,都存在无法用该系统的公理来证明的真命题。这一发现使得数学家们认识到,任何试图创建完美的数学基础的努力都无法逃避其内在的局限性。
• 同构: 同构是在数学中表示结构之间一种等价关系的概念,意味着在某种条件下两个对象之间可以建立一一映射。在各种数学领域中,同构概念被广泛应用,如群论、图论等,帮助简化复杂结构的研究。
• 卡农: 卡农是一种音乐形式,考验了作曲者在旋律、声部间的对位与和声能力。卡农在音乐中的形式与结构,常常让研究者们探讨其逻辑,却又在音乐心理学中探讨如何被听众理解与接受。
• 巴赫: 约翰·塞巴斯蒂安·巴赫是巴洛克时期的杰出作曲家,以其丰富的音乐风格与复杂的对位法而闻名。巴赫的作品如《平均律钢琴曲集》与《马太受难曲》不仅在音乐领域影响深远,也对数学、逻辑等多个领域的思想产生了重要影响。

Highlights

• (01:41) “这一章其实是把哥德尔的数学、艾舍尔的画作和巴赫的音乐丝滑地交织在了一起。数学音乐和艺术这三个领域,其实我觉得精通其中一个就已经很难,但是像侯世达这样三个好像全都精通而且能串在一起,发现他们的共同规律的还是挺惊奇的。”
• (05:17) 所以侯士达应该说他确实还是很厉害,他就说这三个东西有横跨性,但是我讲这啥东西他也没人能听得懂啊,对不对?那么他就自己又发明了一个,就是 GEB,就是说哥德尔不完全定理不光横跨数学、计算机和语义学,他还横跨数学、音乐和绘画,这就是侯士达刻意发明出来的这么一个三个领域的一个体系。
• (09:01) “所以我觉得这个就是也是我对他这个序言的一个感悟吧,因为你看他后边的这个结构也并不完全是这样,但是他特意用的序言来引这一块,其实就像你刚才说的就是他这个序言其实本身是一个独立的文章,就他光序言这篇文章发出去其实都是有吸引力的,对吧?就不是他这本书的序言,这个文章应该也是很好的。”
• (18:12) “而且我觉得这部音乐的奉献它自己本身就是一个最高智商最高级的马屁,因为整个乐章它包括一个三声部的副歌,一首六声部的副歌,还有十首卡农曲和一首三重奏鸣曲。我觉得就整个这个音乐奉献的这个乐章应该就是一场数学的表演和炫技,而且更烧脑的是,它里面的很多卡农,这个卡农其实它里面很多都没有写全,它就是故意留白或者是以猜谜的形式留给大家去探求,留给大家去听,然后你会发现这些谜团就是嵌入在这个音乐中。”
• (28:50) “只有结构那一部分才能跟哥德尔不完全性定理才能挂上钩嘛,对不对?曲调的那个东西,它的那个磨音是另一个故事,那个故事是什么呢?......真正的是音乐当中,它这两部分只有结构。那一部分是可以跟比如说数学公式对吧?那些东西匹配的。但是别忘了音乐这个东西之所以出来,它的核心其实还是为了好听。”
• (38:04) “所以其实艾舍尔的画应该说他真的就是有意而为之,否则的话他也不会那么巧就真的画出这个东西来。当然了艾舍尔的画还有一个证据当然就是说艾舍尔实际上是个现代人。就是他画很多画的时候,这个哥德尔不完全性定理早都已经产生了嘛,他其实是个现代人,所以你说他是因为看了这些语义学的成果,哥德尔不完全性定理的成果以及这种逻辑的成果来去画这个画的,也是大概率的事儿。”
• (40:03) “所以我的意思就是说我不知道是不是文科生思维还是怎么样,但是我觉得相比较于音乐,还有这些数学这些悖论的表达方法来讲,就是从艺术从直观从视觉上反而是最容易理解这些悖论的一个方法,对,所以我才刚才说就是这三个人中,如果说大家是在侯世达试图在表达同一个这个逻辑的话,或是表达同一个与这个哥德尔相关性的话,那我觉得对我来讲艾舍尔我是通过看他的画,我其实是相对来讲更容易的理解一些这个哥德尔不完美定理的一些内容。”
• (46:49) 因为读这段数理逻辑史,然后读哥德尔,还是觉得一切还是跟它非常相关的,因为它,我不知道理解对不对,它好像应该是颠覆了一种一切思维推理都能被形式化、 公理化、机械化出来的这种理念,颠覆了整个原来 30 年代前后建立起来的数学大厦的这种基础的理念。
• (1:05:00) “哥德尔就发明了他的著名的所谓哥德尔数的这套体系。也就是说,他把所有的逻辑的语句能够编成数学运算。也就是说,他的这个最核心呢是说,把语句变成数,这是第一步。第二步是把整个一个证明过程变成一个计算方法。这个其实就是现代计算机的前身了,可以这么说。”
• (1:12:01) 如果我们真的是用哥德尔的眼睛来看世界呢,就好像把这个整个世界画一大圈, 就不管有多大,即使是你把整个宇宙都包括, 其实你也没有办法把所有的真理都包进来, 里边总会有一些人类数理逻辑思维没有办法解释的内容。那圈外是什么呢?那一定是人类理性思维局限之外的存在,就是所有的数理逻辑,自然规律,人类我们已知的已知中,所有的不可知,那是圈外的。
• (1:26:16) “因为我们刚才结论其实就是连一这个东西都是没有一个严格的定义的,都是来自于人的直觉,所以你说的这个问题其实在数学家,就是真正理解数学的数学家眼里它根本就不是个问题,也就是说真正理解哥德尔不完全性定理的数学家是不会追求把逻辑推广到这个世界的所有领域的,因为他们把逻辑推广到一上面, 都不成功,对吧?所以其实是不会有这个问题的。”

Mindmap

• 哥德尔、艾舍尔和巴赫的思想盛宴
  • 哥德尔、艾舍尔和巴赫:一场思想的盛宴
    • 导言的重要性
      • 导言吸引力
        • 特殊的提纲切领
        • 开放思维的契机
      • 吸引读者的方式
        • 适合多读者的引导
        • 初读者的感受
    • 哥德尔、艾舍尔与巴赫的交织
      • 三个领域的精通
        • 数学
        • 艺术
        • 音乐
      • 侯世达的跨界天赋
        • 共同规律的发现
        • 三者之间的关系
    • 读书的期望与体验
      • 读者的压力管理
        • 适度的读书态度
        • 心理准备的重要性
      • 大脑锻炼的比喻
        • 铁三的训练方式
        • 增强理解与思维能力
  • 侯世达的叙事策略:坡道模型与金字塔原理
    • 导演与创作
      • 侯士达的意图
        • 体现整体思想
        • 大范围的跨越性
    • GEB书籍概述
      • 哥德尔、艾舍尔、巴赫三者的联系
        • 启发性的思维观察
        • 跨越数学、音乐与绘画
    • 数学与艺术的关联
      • 哥德尔不完全性定理的特征
        • 连接多个学科
      • 与其他定理的比较
        • 费马大定理和巴赫猜想的局限性
    • 相关理论探讨
      • 图灵的停机问题
        • 概念上的等价性
      • Tarski的语意学
        • 真理和定义的不可定义性
    • 侯士达的创作成果
      • 跨越性与奇特性
        • 创造新的理解角度
      • 致敬哥德尔的神奇特点
• 通才与跨领域思维的探讨
  • 通才的魅力:从博学到跨领域思维
    • 侯世达的叙事逻辑
      • 巴赫、艾舍尔与哥德尔
        • 同构特征
        • 循环与自止
      • 序言的独立性
        • 吸引读者
        • 写作方法对比
    • 写作结构的比较
      • 均匀结构与金字塔原理
        • 逐步展开论点
        • 吸引力的坡道原则
      • 文科与理科的结合
        • 侯世达的写法优势
        • 博学的必要性
    • 博学与通才的标准
      • 知识广度与深度
        • 侯世达与罗素
        • 司马赫的成就
      • 教育体系的影响
        • 文理分科的产生
        • 对通才的期望与培养
  • 巴赫的音乐与数学:一场高智商的炫技
    • 巴赫的故事背景
      • 普鲁士国王菲德烈大帝与巴赫的关系
        • 国王对巴赫的青睐
        • 巴赫即兴创作的挑战
      • 欧洲音乐与数学家的生存状态
        • 王公贵族对艺术家的赞助
        • 艺术家与贵族的互动
    • 音乐的奉献
      • 音乐形式与结构
        • 三声部副歌与六声部副歌
        • 十首卡农曲与三重奏鸣曲
      • 数学与音乐的结合
        • 卡农曲的构造与技巧
        • 留白与猜谜的创作方式
    • 高智商的表现
      • 创作的双关语
        • 卡农(canonic)与最佳的表达方式
        • 意大利词richerca的含义
      • 音乐中的数学思想
        • 各种变换手法的运用
        • 高超技巧的探讨
    • 从数学的视角
      • 历史背景的重要性
        • 比较与其他艺术领域的相似性
        • 艺术与数学的交互影响
      • 现代解读与讨论
        • 对数学与音乐关系的深入分析
• 音乐、结构与视觉艺术的交响
  • 音乐的结构与曲调:磨音与结构的交响曲
    • 巴赫音乐的特点
      • 对位法与卡农
        • 音乐核心创作法
        • 炫技的数学构造
      • 主旋律的重要性
        • 动人的旋律
        • 专业人士分析结构
    • 音乐的两大部分
      • 曲调
        • 直接打动听众
        • 念念不忘的旋律
      • 结构
        • 包括技术性构造
        • 与数学公式的关系
    • 哥德尔不完全性定理的关联
      • 结构与音乐的联系
        • 循环与音阶升高
        • 与数学概念的对比
      • 艾舍尔的画的引入
        • 视觉艺术与音乐的相似性
        • 吸引力与复杂性
  • 艾舍尔的画作与悖论:视觉化的逻辑游戏
    • 艾舍尔与哲学逻辑
      • 理解与创作
        • 艾舍尔的理解与创造力
        • 哥德尔不完全性定理的影响
      • 语义学悖论
        • 说谎者悖论
        • 罗素悖论的概念
    • 语义学悖论的影响
      • 主体与客体的混淆
        • 自制与非自制的理解
        • 画作中的主体与客体
      • 整体与部分的关系
        • 整体与部分的混淆
        • 艾舍尔画作中的表现
    • 艾舍尔的画作分析
      • 自我表现
        • 左手画右手的图示
        • 无穷循环与黑夜白昼
      • 艺术与逻辑的结合
        • 艺术表达的逻辑深度
        • 哥德尔不完全性定理的艺术反映
• 抽象思维与哥德尔的数学革命
  • 艺术与抽象思维:视觉表达的优势
    • 艺术的表达方式
      • 抽象思维的理解
        • 艾舍尔的画作
        • Monument Valley 游戏
      • 视觉表达的优势
        • 相较于音乐的线性特性
        • 二维与三维的关系
    • 哭德尔与不完全性定理
      • 理性与悖论
        • 罗素悖论的理解
        • 说谎者悖论的数学证明
      • 表达复杂概念的难度
        • 艺术的直观理解
        • 哲学理念的影响
    • 主题具体展开
      • 艾舍尔的无限循环
      • 表达性与信息量的关系
  • 哥德尔:逻辑与数学的革命者
    • 哥德尔的重要性
      • 精神图腾
      • 自传及相关读物
    • 数理逻辑的历史
      • 30年代以前的危机
      • 数学基础的颠覆
      • 机械化思维的努力
    • 计算机与人工智能的联系
      • 机器化推理的尝试
      • 深度学习与比例法则(scaling law)
        • 盲从与新声音
        • 知识与智能的关系
      • 人类思维的探索
• 数学逻辑的挑战与突破
  • 第三次数学危机:形式化与不完备性的挑战
    • 哥德尔的吸引力
      • 个人成长与启蒙
        • 早期接触与影响
        • 对逻辑与数学的热爱
      • 哥德尔思想的重要性
        • 逻辑思考方式
        • 对数学与哲学的追求
    • 数学历史中的危机
      • 第一次数学危机
        • 毕达哥拉斯学派与无理数
      • 第二次数学危机
        • 牛顿与微积分的不严谨
        • 分析学的解决
    • 第三次数学危机
      • 数学基础的构建
        • 康托尔的补数集合论
        • 弗雷格的《算术基础》
      • 罗素悖论的挑战
        • 数学清晰化的幻觉
    • 数学流派的兴起
      • 逻辑主义
        • 罗素的理论与逻辑的基础
      • 形式主义
        • 希尔伯特对符号操作的追求
        • 循环论证的问题
      • 直觉主义
        • 自然数的根源
        • 数学的自主性
    • 哥德尔的不完全性定理
      • 理论的核心观点
        • 不可证伪与不完备性
        • 对逻辑主义的挑战
      • 哥德尔第二不完全性定理
        • 一致性与完备性的局限
        • 对形式主义的否定
  • 逻辑的局限与数学的超越:直觉主义的启示
    • 人类推理能力的独特性
      • 人类与动物的思维差异
        • 推理能力的发现
        • 形式化的渴望
      • 数学与逻辑的关系
        • 数学的形式化尝试
    • 哥德尔的贡献
      • 哥德尔不完备性定理
        • 定理的核心思想
        • 先前的完备性定理
      • 自指及悖论的应用
        • 说谎者悖论转化为数论
    • 数学的无限与局限
      • 不可知的存在
        • 上帝或超越逻辑的概念
        • 自然数与逻辑的关系
      • 数学的强大与逻辑的局限
        • 数学导出逻辑的过程
        • 逻辑自洽和数学非自洽的性质
    • 未来讨论的方向
      • 直觉主义相关性
        • 上帝存在的证明问题
        • 哥德尔与图灵机的关系
      • 人工智能的极限探讨
• 同构与交流的哲学边界
  • 同构与交流:理解与误解的边界
    • 同构的核心概念
      • 数学与逻辑的关系
        • 逻辑化与机械化的目的
        • 消除误解与沟通障碍
      • 数学家的追求
        • 对准确性的强烈追求
        • 理科生与文科生的观点差异
    • 数学应用的局限性
      • 数理逻辑在经济学中的问题
        • 模型化带来的混乱
        • 有限的适用范围
      • 误用逻辑的风险
        • 哥德尔不完全性定理的启示
        • 理解与推广的错误

Transcript

哥德尔、艾舍尔和巴赫:一场思想的盛宴

(00:28)

Unknown Speaker:

(00:00)

Hmm. Hmm.

Speaker 1:

(00:28)

听众朋友们大家好,欢迎来到新一期的文理两开花。我们今天继续我们的 GEB 的读书系列。前一集呢好像已经成功把大家拉下水了,因为好多听众还给我发了一些照片,就是他们听了之后新买的 GEB 的书,决心要和我和魏友老师一起读。那就 welcome to GEB,welcome to 这个大的天坑,和我们一起读吧。但是无论后面发生了什么都不要怪我们, 就当大家给大脑来了一次铁三训练吧。不过说到这几大家也压力不要太大,其实读起来还是挺有意思的。我们今天呢想和大家一起聊一聊导言的部分。不知道 Will 老师的习惯是怎么样,但实际上我读大部分书都会直接是从第一章开始,我很少看导演,我几乎从来都不看导演。但是呢,GEB 好像不太一样,因为它的导演部分是最吸引人的,至少是最吸引我的。这也是一篇特别精彩的,非常独立的一个提纲切领的之作,也是可以让我们大家这个思路打开,脑回路打开的章节。当然了,也很有可能大家和 GEB 的缘分也永远停留在这一章。所以我们今天来读一下这一章。这一章其实是把哥德尔的数学、艾舍尔的画作和巴赫的音乐丝滑地交织在了一起。数学音乐和艺术这三个领域,其实我觉得精通其中一个就已经很难,但是像侯世达这样三个好像全都精通而且能串在一起,发现他们的共同规律的还是挺惊奇的。Will 老师是不是也挺喜欢导演部分的?你觉得这个哥德尔、艾舍尔和巴赫他仨的共同特点是什么?或者是可以先简单地总结一下,我们后面还会仔细地聊一下他们仨。

侯世达的叙事策略:坡道模型与金字塔原理

(02:15)

Speaker 2:

(02:15)

说到导演,咱们延续上一期的这个话题。其实首先我记得,就是我看那个简本的时候,就是 GEB 的这个简本的时候,应该是,我不记得有没有这个完整翻译的导演了,也有可能有,也有可能没有,因为那个书现在不在手边上。但是后来我看全本的时候,对这个导演也觉得是挺有意思的。我觉得侯士达他写这个导演,就像上次这个咱们聊到的他这一本奇书,他这个导演呢也是有意而为之,或者说他这本书的这个总体思想在导演里边真的是也挺有体现。我想说两个大的角度吧,一个是说 GEB 这个书其实简单的讲,他就是想把哥德尔。 艾舍尔,巴赫这三个东西拉在一起嘛,其实就是为了启发。大家说其实哥德尔不完全星定理也不一定只是一个数学的东西,对吧?你看你在音乐当中也能发现,好像有类似的也在绘画当中还发现有类似的就跟咱们上次说的这个奇书的这个角度是一样的。换句话说,如果 GEB 是本奇书的话呢,其实在侯士达眼里呢,这个哥德尔不完全星定理其实就是个奇定理,对吧?就是它不是光是数学相关,它可能跟音乐跟美术都相关。其实,这样的数学定理并不多。对吧?就比如说,不管你说哥德尔·巴赫猜想还是费马大定理,你说他虽然也很厉害,但是你说跟音乐一定能挂上钩,跟美术能挂上钩吗?这可能不一定,但是哥德尔不完全性定理真的就有这样一个特点,就是它本身就有横跨很多领域的这个特征,而且这里边还有一个特有意思的背景,我想说一下,就是其实在专业领域里,可能大家有了解的,就是说哥德尔不完全性定理和图灵的停机问题, 其实是等价的,或者说逻辑上,概念上是等价的吧,我们不能说它数学上绝对等价。然后这里边还有一个东西大家不是特了解的,就是 Tarski,就是卡斯基的语意学。Tarski 呢,他是在他的语意学理论当中呢,给出了一个论断,就是真理或者真这个概念是不可定义的。这个东西你听着你就感觉这跟哥德尔不完全性定理也很像,对不对?所以其实哥德尔不完全性定理和图灵的停机问题和塔斯基的真理与医学这三者之间也是横跨了三个学科的关系,对吧?所以侯世达应该说他确实还是很厉害,他就说这三个东西有横跨性,但是我讲这啥东西他也没人能听得懂啊,对不对?那么他就自己又发明了一个,就是 GEB, 就是说哥德尔不完全定理不光横跨数学、计算机和语义学,他还横跨数学、音乐和绘画,这就是侯士达刻意发明出来的这么一个三个领域的一个体系,你明白吗?

(05:35)

这是我的理解,这是我的认知,我想可能从来没有人这么说过,这就是我对这个书的心得。

Speaker 1:

(05:41)

但很有道理。

Speaker 2:

(05:41)

对嘛,就是说侯世达他就是想通过这个角度来告诉大家说哥德尔不完全定理有这种跨越性,或者有这种奇特性,只不过专业的领域的那个三个横跨,它都是等价的,大家都很难理解,但是他创造了一个横跨领域更大的一个东西就是音乐和美术或者绘画,对吧?所以我觉得应该说这也是侯士达算是致敬这个哥德尔不完全性定理的这个神奇特点的这么一个刻意的创作,这点我认为确实是很有意思的。然后我就想说另一个点,我觉得有点扯远了,但是我觉得很好玩。侯世达他讲这个东西,你看他这个序言,他是先讲巴赫,然后再讲艾舍尔,然后再讲哥德尔,也就是说他的叙事的逻辑, 又要讲到叙事了。他叙事的逻辑是说,我告诉大家,巴赫的音乐是这样这样这样这样这样,但是他里边有个什么什么什么特征,他这里边提到了嘛,同构,对吧,同构,然后这个通过 Kano 这种还有复格这种结构来表达一个同构,循环,自止,反正都弄进去了,反正他到底是不是自止呢,这个等会咱们再说,然后呢他又说艾舍尔的绘画,你看左手画右手,对吧,然后这个无限的升降, 说这里边也有个这种东西好像很有意思, 字质然后说到哥德尔不完全性定理, 说其实数学上也能够引入字质来证明这个东西当时我看到这个东西我觉得很有意思, 它这里边是暗合了一个什么逻辑呢就是叙事逻辑当中有个坡道模型我不知道小胖老师应该熟悉,坡道就是我从一个低的起点开始往上走,这个东西它就特别吸引人,一般是用于讲故事、叙事或者演讲的这样一种技术手段,然后这个事情就让我很有感慨,为啥呢?我自己因为是搞数学的,如果让我写一本介绍哥德尔不完全定理的书,那我会怎么写呢?我一定会上来就说哥德尔不完全定理是证明了一个什么什么什么什么, 然后呢,底下会分三点。第一,数学上是怎么证明的?第二,绘画中如何体现?第三,音乐当中是不是有类似的东西?

通才的魅力:从博学到跨领域思维

(06:16)

Speaker 1:

(08:09)

GDP 是答法。

Speaker 2:

(08:10)

对,但是这个顺序就是 GEB 嘛,然后他实际上把它扭转为 BEG。然后如果是我们这种人写这个的逻辑呢, 其实是另一个原理,就是金字塔原理。我想大家可能都知道,金字塔原理就是说我首先给出一个论点,然后我底下来证明这个论点,对吧?所以你要是这么写呢,那就得先讲哥德尔不完全性定理是怎么怎么怎么回事,然后底下我们衍生出来还有音乐还有美术。这两种写法哪个更好呢?我感觉那肯定是侯世达这个写法更好。

Speaker 1:

(08:50)

有点文科生的感觉,做铺垫。

Speaker 2:

(08:52)

这是很符合一个坡道原则,就是说你得吸引读者,一上来你得讲巴赫,为啥呢?我还真的反思过,就是你想啊,假设我讲五个人群,比如说知道巴赫的人,知道哥德尔的人,知道艾舍尔的人, 知道侯世达的人和知道 GEB 的人,假设有这五类人的话,那我估计......知道巴赫的人可能比剩下那四个加起来最大可能还得多个好几百倍吧所以肯定是这个坡道原则我觉得用在这里是非常有意思的所以我就是很早以前看这个的时候就有这个感触啊就是说这两个模型其实各自有不同的用法并没有对错就是如果你想自顶向下从一个要论证一个东西的话你肯定是用君子塔原理但是如果你是讲故事,你是叙事,你是介绍一个大家不熟悉的逻辑,你肯定是用坡道模式,所以我觉得这个就是也是我对他这个序言的一个感悟吧,因为你看他后边的这个结构也并不完全是这样,但是他特意用的序言来引这一块,其实就像你刚才说的就是他这个序言其实本身是一个独立的文章,就他光序言这篇文章发出去其实都是有吸引力的,对吧?就不是他这本书的序言,这个文章应该也是很好的,所以我觉得就是我对这个序言的两个角度吧分析一下。

Speaker 1:

(10:25)

对对,特别有意思。如果说按照魏老师刚才讲的,实际上他的这种写法呢,如果说从文科生来看的话,他就觉得是非常精彩的,因为这是一种文学手法,就是往深了说,因为你要先做一个铺垫,就是说从浅的时候,我就是为了吸引读者嘛,或者说先做一个铺垫,不管是怎么铺垫,但是你读完了整张之后,你又觉得完全没有这么简单,他完全就是披着文科生的理科生。因为整个这个结构它之所以这么铺垫,其实也都是有意而为之的,有设计好的。你读完之后想一想它铺垫的这个结构,其实就是一个它想表述的这么一个结构。那么这个结构呢在后面几章中其实也有反复的出现过,只不过是用不同的方法,比如说用对谈的方法,或者说怎么引入它的一个概念的方法,就是真的是一个披着文科生的。理科生啊还是正好也想跟威老师聊一个概念,就是说我其实对这样的思维或这样的人是特别上头的,就是那种不只是专精某一个学科,而是就是非常的博学,就是所谓的博学可能就是像我们定义奇书的这个概念是一样的,就是它可能不是从某一个领域深钻,它深钻的东西广度也是非常大的,就比如说像侯世达这样子,数学音乐和艺术,他之所以能把这三件事放在一起,如果你不精通任何一段的话,不精通任何一学科的话,其实你很难融会贯通, 因为后面我们讲这个巴赫的这个音乐的时候,可能 Will 老师也会给大家解释到他中间的数学思想是什么,或者说他怎么体现了这个哥德尔不完全定理,但是你首先要精通这个数学,你要精通这个韵律,你才能够想象得到。所以我就觉得这样的人实际上其实还是挺少的,我觉得虽然有一个词来形容他们叫做博学家,但是我觉得真正能被称为博学家的人其实不是很多。我印象最深的其实是两个,就是除了侯世达之外,这个就稍微引出一点,但是我觉得挺有意思的,就一个是罗素,罗素后面可能魏老师也会来仔细谈到他,因为罗素这个人他是拿下诺贝尔文学奖的研究数学的哲学家,所以说我为什么对他印象深,就是因为他获了诺贝尔文学奖,而且他这个获奖的书也很有意思,这个书名叫婚姻与道德,就是是二几年的写的书, 但这个书的内容尺度其实非常的大,就是从当时看来,因为他主要的观点就是他认为清教徒对性的态度是人类不幸的根源,所以他在书中其实他是倡导离婚,就是说你想离婚就离,然后呢还倡导这种试婚,就是说咱先不结婚咱先试试,这其实也是跟他的私生活是非常相关的,然后他还觉得这个婚外性行为呀,这个同性恋现象都很正常, 大家应该宽容一点,

(13:20)

要知道这本书它是 1920 几年写的,所以这本书的尺度非常大,但你仔细想想它这些观点,它之所以得出这些观点的逻辑,我觉得这倒也是像一个逻辑思维很强的人提出的观点,简称直男观点吧。然后另外一个就是我觉得印象非常深的就是司马赫,就是 Herbert Simon,我在这个牧羊人的哲学课之中有一张写到过,就写到过司马赫这个人, 因为他是一个,如果你看他的背景,看他的简历和经历,是一个特别特别神奇的人。他是唯一一个获得诺贝尔经济学奖和图灵奖以及世界人工智能终身成就奖的科学家。然后人家还有九个博士学位,这个九个博士学位包括了人工智能,认知心理学,符号啊,什么经济学啊,管理学等等,就简直是一个,而且他 70 多岁开始学中文,他是第一个中科院的外籍院士,而且还会弹琴,还会画画,就真的是,啊,琴棋书画样样通。我觉得这样的人,嗯,是非常的特别的,嗯。我不知道 Will 老师有没有见过类似的人,或者你印象比较深的人,你觉得他们应该算是博学家?

Speaker 2:

(14:29)

嗯。对,我觉得其实我对这个的感觉就是觉得从西方或者说从这种欧洲的这种整体的思想史的角度来看其实人都应该是通才,对吧?就是你说叫博学家或者叫通才其实就是咱们以前应该也聊过这个话题就是所谓文理科的这种分科,对吧?这是后来这个前苏联也好啊等等这种教育体制的这个产物。其实从整体人类社会而言,本身就应该是一个这个不需要分什么任何科的这个逻辑。比如说历史上这些就是我们比较喜欢的就是理工直男,比较喜欢的这些人确确实实都是通才。比如最早应该跟咱们这本书也比较有关系的,其实就是这个毕达格拉斯,这就是最早的这种通才型的人物嘛,对吧?因为他们是整个是一套数学体系的创立者。然后同时呢,实际上我们现在音律在大概两三百年前,其实还流行的差不多都是毕达哥拉斯时代发明的这个音律学。只是到了近代就是后来才慢慢的因为这种乐器的制造水平已经非常高了,所以就全面导向了这个十二平均律,这个后边咱们肯定会聊到的这个啊,因为这个十二平均律 GEB 里也有提到,对吧?就是整个音乐的这个发展过程,然后包括这个你说美术,包括这个所谓几何雪,当时不是也是所谓从丈量土地的这个角度来的吗?其实跟经济肯定是有关系的。所以确实就整体上来讲,按理说一个人都应该是涉猎所有这些东西,他的这种开脑洞的能力,或者说归纳的能力才会提升。我觉得这一点倒是确确实实这样。而且我本人也是很喜欢看到这些人,而且自己肯定也是希望能成为这种人嘛,对吧?

Speaker 1:

(16:33)

我觉得还是最重要的是联想能力,就举一反三的能力,但是实际上我们从小的教育体系就是这种联想能力太强的孩子有的时候会被批评不专注,就是我们老师经常都说你要专是吧,专一门学歌,要精通一门学歌,但是其实联想能力举一反三的这种串联能力还是挺重要的。那这个就岔开了,我们下面就来仔细聊一聊巴赫、哥德尔还有艾舍尔。我们先聊聊巴赫的部分,就是刚才 Will 老师也说了,他是从音乐这个角度先切入的,也是从大家最熟悉的人物开始的。其实他切入的方法呢,我简单讲一下,然后我们请 Will 老师给大家做精彩解读。其实巴赫的部分是非常非常有意思的,他就是开头就开始讲这个故事,那这个故事呢,其实我觉得他讲的这个故事应该算是一段史上最高智商最高级的拍马屁的故事,因为他讲的是当年的这个普鲁士的国王这个菲德烈大帝,其实他是巴赫的超级粉丝,所以他有一天就把他叫过来说,你给我现场即兴创作一个有六个声部的副歌, 这个难度其实在当时还是蛮高的,因为副歌就已经挺复杂,然后是六个声部的副歌就比较复杂,但是巴赫就轻轻松松的就现场就即兴创作了出来。然后呢,就这次接见之后呢,巴赫就回去,回去之后呢,就给国王创作了一个国王主题的乐章叫做音乐的奉献,也是音乐史上非常有名的一部曲子。而且我觉得这部音乐的奉献它自己本身就是一个最高智商最高级的马屁,因为整个乐章它包括一个三声部的副歌,一首六声部的副歌,还有十首卡农曲和一首三重奏鸣曲。我觉得就整个这个音乐奉献的这个乐章应该就是一场数学的表演和炫技,而且更烧脑的是, 它里面的很多卡农,就后面魏老师可能会给大家详细解释,它这个卡农其实它里面很多都没有写全,它就是故意留白或者是以猜谜的形式留给大家去探求,留给大家去听,然后你会发现这些谜团就是嵌入在这个音乐中。而且他在卡农里面还用了就是真的是各种炫技手法,比如什么逆行,书里面写的倒影逆行增值减值各种变换副调的方法,就简直就是炫技,炫出了天计。而且他还玩了一个文字双关语,因为他的这个书名呢,这个乐谱他在首页上写了一句话,这句话是奉旨成招, 将歌曲及余部以卡农技巧予以解决。当然这句话是用英文写的。然后里边呢,这个 canonic 就是卡农的这个词是双关,不仅是因为我这里边有很多卡农曲,而且它还有一个意思说,我是用了最好的,我能想到的最好的方式。而且这句话把每个词的首字母排在一起是一个意大利词 richerca,

巴赫的音乐与数学:一场高智商的炫技

(16:58)

Speaker 1:

(19:31)

意思就是探球的意思,所以它是有双关,然后手字母拼在一起,又是一个含义在里面。所以说这篇阅章确实是反映了这个巴赫的一种非常高超的思想,就是高超的,甚至有很多高超的数学思想在里面,而且这里面有很多东西可以深究。读完这个故事就觉得这高智商的人炫技就是这么朴实无华且枯燥。读起来非常非常有意思。那么魏老师就帮我们解读一下,就是如果是从数学的视角的话,你是怎么看待这一章,看待这个巴赫的这一章?

Speaker 2:

(20:06)

嗯, OK, OK, 我觉得小朴老师刚才说的这段挺有意思,他引发了我先想介绍一些历史背景,对,然后再讨论这个数学的这个内容,我觉得可能这个也会成为咱们这个 GEB 节目的一个特点吧,就是其实就像刚才我想说那个坡道模型和金字塔原理一样,就我们可以从很多侧面的角度先去点评一下这些内容,或者是介绍一些历史背景,然后再来聊聊这个内容。历史背景我觉得是这样,就是你刚才说到这个巴赫相当于是一个经典的拍马屁的一个故事。其实当时整个的欧洲应该说,或者说整个全世界,就是对于这种各种技能,比如说包括数学,包括绘画,包括音乐,他们有一个特点就是说这些人往往都是比如说王公贵族这些人来养活着他们来炫技用的。真的是这样。那个时候不要说音乐家,就是数学家都是这样。比如说著名的伯诺利兄弟这样一些数学大家,他们当时是什么状况呢?各自被一些王公贵族所养着,然后定期出来斗争,比如说我出一道题你能不能解出来,然后你又出一道题我能不能解出来。所以你刚才说的巴赫的这段背景就很有意思,也有点这个状况的意思,就是说巴赫也是我弄出非常高超的这种音乐的技法,对吧?你们能不能听出来呀,对不对?这个我致敬国王的,然后我给国王听,那国王他肯定高兴啊,为啥呢?这个说到人性啊, 就是说国王肯定不能说, 哎, 你这不好听, 或者说我没听懂, 那国王就太丢人了, 对吧?国王一定得说, 哇, 太好了, 对吧?

Speaker 1:

(21:59)

国王自己还演奏了一段, 就是感觉国王有在选题。

Speaker 2:

(22:03)

对, 他自己真的喜欢不喜欢, 这个不重要, 重要的是他得表达出来说, 我是非常专业的理解音乐的, 我一下子就知道哦,巴赫这个 Canon 这个里边, 对位怎么对的, 然后还有正着反着的, 还有这个跨越无数所有阴阶的,对吧,这个 Protonus 这个东西,然后呢,就这么一个过程,所以我觉得这个历史背景挺有意思,其实当时全世界也也有很类似的地方,比如说日本这个围棋为什么后来那么厉害呢,也就是日本的幕府时期那些大将军,每个人都养着一个自己的御用棋手,然后定期就出来打比赛,用这个胜负来表达自己的这个荣耀,就其实都很像。所以这个里边, 说完这个背景, 我就回到咱们的正题。其实巴赫这个东西, 他的计法确实是很厉害。就是这个 canon 的这个逻辑, 也就是所谓的对位法。这个对位法可以说是当初这个就那个年代欧洲音乐的一个核心的一个创作法嘛。就是我一个曲子。比如说演奏了三个小节之后,那么我在第四个小节引入第二声部的时候呢,它的这个内容,它的这个旋律是跟上一个声部的,第一小节是重复的。对吧?就是这个就是其实就是 Kanon 的最基本的一个原理。也就是说他们这些音乐本身客观的说,我这必须要大放厥词,就是为了炫技用的。就是在我直白的点评而言,就是一句话,不好听。简单的说就是这样,就因为它作为一个纯数学的一个构造法,就是一个炫技的用处,但是其实你说真正有好听的音乐吗?其实也没多少。

音乐的结构与曲调:磨音与结构的交响曲

(22:53)

Speaker 1:

(23:57)

我给大家来放两......真的是绝词了。

Speaker 2:

(24:01)

对,我给大家来放一个曲子,就是巴赫做的一个曲子,你听一下,很简单。OK, 这个放完了,就是很简单,这个是这个巴赫的一个 C 大调前奏曲,也是他特别有名的一个前奏曲。这个曲子就是你一听就感觉非常的优美。就是反正我每次听的时候就有这种大清晨起来蓄日东升的那种感觉,这个后边以后再说了,但是这个曲子它其实就是一个很简单的一个前奏曲,它不是卡能,它就只有一个主旋律,而且就四个音,在所有的声调上不断地转来转去,就是跟卡能啊跟这些东西一点关系都没有,但是这个曲子就是比较好听。然后卡能的那些曲子呢,你就会发现它是什么呢?就是它是用这种技巧的方式编了各种的曲子出来,就是所谓的这种对位法,但是它在主旋律上其实并没有一个能够让人一听就记得住的那么一个旋律,你知道吧?其实你反过来想,就是我们接触音乐,我们其实也有两个两个角度,一个角度就是我们这些普通人,就是非专业音乐人士,音乐最能打动你的是啥?其实还是那个主旋律,对不对?其实还是那个旋律,那个调调。但是对于专业人士而言,就是像巴赫这种人,他们就在欧洲那个时代炫技用的,他们是强调的啥?就是我这个曲子的构成,以及我对音的使用,以及我这个多声部之间的这种配合,以及我这种严谨的这种调性之间的这种升降,他们比拼的是这个东西。所以这其实就引申到我们以前文理两开花聊到过一个核心的概念, 就是磨音与结构,就是取调能在人们之间传播,能够流传百世,其实是靠的那个旋律,那个东西就像人的磨音一样,就像一个叙事的故事一样,对吧?就你听完了你能哼哼,你哼哼, 或者你也放,别人也愿意听,这其实就是个磨音。而音乐的结构呢就是那种,就巴赫那种,比如你的结构是卡农,你是副歌,你是什么什么什么什么这些,甚至还出现了就是所谓什么螃蟹卡农,对吧,逆行卡农,无穷升降,这些都是音乐演奏或者谱曲的技巧,它们其实是音乐的结构,所以其实音乐也是由这两部分构成的。就是曲调和它的结构。而侯世达他在这个书当中,他当然只能强调结构那一部分,因为只有结构那一部分才能跟哥德尔不完全性定理才能挂上钩嘛,对不对?曲调的那个东西,它的那个磨音是另一个故事,那个故事是什么呢?就好像我们说,比如说哥德巴赫猜想是 1 加 1 等于 2,大家一听都知道了,对吧?或者说哥德尔不完全性定理相当于是什么呢?相当于是这个怪圈自止,对吧?但是实际上巴赫的这个音乐结构当中的所谓怪圈和自指,其实不是完全匹配。

(27:38)

哥德尔布完全性定理那个数学的怪圈和自指的在这里。不得不说我们要点评一下,就是说巴赫的音乐与哥德尔布完全性定理的关系,是这就是 GEB 这三者当中离得最远的。但是它是最简单的。对吧?就像咱们刚才说,我一上来肯定要讲巴赫,因为音乐是被大家知道的最多的。所以其实你看侯世达所讲的巴赫的当中,比如说无穷的循环,其实它不是真的无穷的循环,对吧?它是音阶不断升高不断升高,然后升高到第八度的时候,你会听起来像是一个循环,但它其实音阶是升高了八度的。而不是一个真的循环,真的循环就是螃蟹卡农那个是真的循环,就从头到尾,又从尾巴到头了。但是你想一想,那东西大放厥词了,那东西能叫音乐吗?你会觉得那个东西好听吗?你会觉得那个东西叫音乐吗?所以客观地说,就是真正的是音乐当中,它这两部分只有结构。那一部分是可以跟比如说数学公式对吧?那些东西匹配的。但是别忘了音乐这个东西之所以出来,它的核心其实还是为了好听。然后关于音乐为什么会好听跟数学的关系?那那就是另外一个故事,咱们就后边再讲,这就从毕达格拉斯那个时代就开始。对,就到了认知领域。对对对。所以我是觉得就是他的这个故事很有意思,就是用巴赫的音乐来引入引出这个里边几个重点,就是同构,然后循环,这些东西他都映射出来,就用结构这个东西映射出来,但是其实对于一般的对于音乐理论或者说这种谱曲法不是特别了解的人,其实稍微还是有一点点难,因为我们平时接触音乐并不接触这些东西,对吧?就是我们接触的都是曲调,都是好听,所以不接触这些,所以其实就把它这个也就当听个故事那么讲,你说真正我们每一个人能了解了卡农和复格这些总体结构,然后还能够通过它来体会出哥德尔不完全性定理跟它有什么共同之处,这个确实是有点难,所以反而客观说就是用这个来做引子,铺垫的是挺好,但是其实想引出哥德尔不完全性定理其实差的还蛮远,你知道吗?它是有这么一个特点,这是我自己的感觉。

Speaker 1:

(30:12)

而且我就明白了很多的,嗯,就是因为我我读这一段的时候,就这三段相相对比来讲,我最容易理解的还是艾舍尔的画儿,就是巴赫我确实是觉得他非常的引人入胜,就是从巴赫引进来,但是就是你从巴赫开始读,然后最后读到哥德尔,确实是你的感觉是艾舍尔好像更近,然后后面你终于就到了哥德尔,就是但我没想明白为什么。刚才为了老师解释,我就突然间叮了一声,我想明白了。它确实不是严格意义上的对称,它就真的是更像一个引子。那如果是这样的话,我们就紧接着到这个艾舍尔的画。那如果说巴赫稍微有点远的话,那这个艾舍尔的画是怎么和哥德尔不完全定理?是离得更近吗?或者是怎么对上的?

艾舍尔的画作与悖论:视觉化的逻辑游戏

(30:53)

Speaker 2:

(31:02)

对。对,这个就得先把这个,我觉得艾舍尔的话,因为客观说,艾舍尔这个人绝对是他就是真的理解这个跟哥德尔不完全性定理相关的这种逻辑或者哲学思想他才能画出这个画来。

Speaker 1:

(31:21)

他不是数学不及格吗?

Speaker 2:

(31:22)

所以他确实就是理解。但没关系嘛,这个哲学可以就行。对,这个就必须要我觉得可能就得先铺垫一下这个关于语义学悖论或者说谎者悖论这样的这些内容了。其实我觉得这个应该也 OK,因为哥德尔不完全性定理反而其实可能来不及铺垫这些内容了。就是归根结底, 哥德尔, 不完全性定理, 其实最早就是来自于我们所谓的这个语意学悖论或者说谎者悖论或者罗素悖论嘛, 对吧?这些东西其实现在我们都很清楚了,比如说这是一种关于自治这样一种逻辑,但是实际上在历史当中,大家对于这个事情认知是有很多的不同观点的,就是说历史上大家发现了这种说谎者悖论的这种语言现象之后,会提出各种各样的观点来,就是说这是为什么会这样,对吧?然后呢,那我们如何避免?就几乎整个人类的这种逻辑,思想史都是围绕着就是说我们这个出现的原因是什么?然后我们怎么解决?那这里边呢就有很多种的流派,比如啊我举这么两三个例子。第一个呢就比如说。最精确的说谎者悖论,其实大概是这样,就是说,这句话是假的,对吧?大家知道。或者呢,有另一个相对而言更好一点的模式呢,就是两句话。第一句话写的下面这句是假的,然后第二句话写的上面那句话是真的,对吧?类似于这个意思。这反过来也一样。那其实呢,很多人就说呢,说,你说这句话是假的, 这句话没有什么意义,为啥呢?是因为当你说到这句话的时候,你这个句子一共六个字,当你说到这句话的时候,这句话还没完,你能理解这意思吧?就是你写到这句话三个字,其实你不是这句话还有后三个字没有写完吗?然后你在没有写完的时候,你这出现的这句话到底指的是哪一句呢?你指的是这个有 6 个字的这个句子嘛,那其实这就是一种信息不完整。也就是说你这个句子还没写完的时候呢,你里边的一部分能够只带这个整体,对吧?这是什么?这其实是一个整体与部分的一个错乱,不然的话,你你写完了,他才是这句话吗?你这句话还没写完,你写了这句话,他就只带这句话。其实这是一个整体与部分的错乱啊,这是一种逻辑。然后另一个呢,比如说这个罗素的这个逻辑是说什么呢?就是我给自己理发和不给自己理发,对不对?那么这个逻辑它引入悖论的原因大概是相当于是说它引入了主体与客体的这种混乱。什么意思呢?就是一个人给自己理发,他不就是既是理发师,又是个被理发的人吗?那这种现象呢,其实就是语言当中主体与课题统一化了,其实就是一种自制,对吧?

(34:27)

那么也就是说,只要是出现主体与课题的这种统一化,那么其实就是自制。比如说我吃苹果,我是主体,苹果是课题,那没有这种统一化,那就不存在自制。所以说呢, 就是大家分析这种语音学悖论就有很多的这种流派或者很多的原因,就比如说信息不完整,就是这个部分与整体的混淆,或者说主体与课题的统一,就类似于这样的一些东西就出现。那么大家就在讨论说,那这个东西我如果能够避免它,那么就可以解决语音学悖论,这就是整个语音学悖论的一个发展脉络吧。那么实际上呢, 这件事情呢就出个问题,就是比如说主体与课题的统一化,那在这个现实世界中它本来是存在的,对吧?一个人真的是可以给自己理发,对吧?你不能说我人类干一切事情,主体与课题必须不是同一个才行,那我真的想给自己理发难道就不行吗?因为实际上我自己我在中学的时候就经常给自己理发, 真的是。我不知道是不是小学时候看了理发师悖论产生的这个毛病啊。开玩笑。但真的是这样。我上中学的时候老给自己理发。Anyway, 这个不重要。也就是说实际上呢,有时候我们又排除不掉这些导致语义学悖论出现的原因。这个恰恰就是语义学悖论,就是既违背于常理,但是又无法被彻底赶出去的原因嘛,对吧?那么这个时候呢, 艾舍尔的画就精确地体现了大家的这些发现,比如说左手画右手,左手画右手你就会发现这是一种什么呢?这其实类似于主体与客体的一种混淆,按理说一只手在画画,那么这只手是主体,被画的那个东西是客体,结果画上一看,那个被我画出来的手还在画我, 所以他就通过绘画的方式就体现了这种语音学悖论的产生的原因的形态,这是一个模式。然后还有比如说整体与部分,就是我们说整体与部分混淆,那么其实就有点像画廊那个东西,你看到吧,就是我这个画廊画出来的画, 结果这个画是放着我们这个画廊的那个城市,这个就是混淆整体与部分的关系,也就是说整体与部分可以互相隶属,这其实就是罗素悖论或者是语意学悖论的特征,也就是说实际上艾舍尔他是通过绘画的方式,真的就是画出来了语意学悖论的种种形态产生的原因, 包括拿着水晶球的画家,对不对?这其实也是无穷循环的一种整体部分的一种无穷循环无穷圈套。所以其实从这个角度来讲就看出来艾舍尔的画他就跟巴赫的音乐就不一样,他就是真的用画的方式来直指我们思维当中所产生的那种其实在现实世界当中不会出现的那种怪圈,就大概是这么一个逻辑。

(37:47)

所以其实艾舍尔的画应该说他真的就是有意而为之,否则的话他也不会那么巧就真的画出这个东西来。当然了艾舍尔的画还有一个证据当然就是说艾舍尔实际上是个现代人。就是他画很多画的时候,这个哥德尔不完全性定理早都已经产生了嘛,他其实是个现代人,所以你说他是因为看了这些语意学的成果,哥德尔不完全性定理的成果以及这种逻辑的成果来去画这个画的,也是大概率的事儿,所以他的这个画就跟哥德尔不完全性定理和语异学悖论的关系就特别直接了。当然这里边我还最后再补充一句,就是他的画也不止于此,比如说他画的那种黑夜与白昼啊,包括这个瀑布啊,那又是另外的一些逻辑了,也是很有意思的,跟语异学悖论有那么一点点关系,但是也不一定完全,这个我估计后边聊到很多章的时候可能都能够聊到这个事。

Speaker 1:

(38:55)

嗯,对对,这么一解释就非常非常有意思了。这是不是其实也可以从一个侧面来证明实际上艺术反而是能够把这种抽象思维最容易让大家理解的一种表达方式?对,就是 Will 老师,其实你是把很多的悖论,就是艾舍尔的画中表现的悖论的背后的原因,因为从这个画上的感觉,其实你一看你就能够看出来就是艾舍尔画的是,他在画悖论, 威老师玩过一个游戏叫做 Monument Valley,它是一个手游,它的灵感就来自于艾舍尔,整个游戏的画面就是城堡上升与下降的那幅画。就是一个一个队伍往上走,然后拐了四个弯又回到原处,然后他就是一个楼梯既往上又往下是吧,他从质感上你就能看出来,然后包括像画手画两只手,然后包括就是那幅最著名的就是书里边侯士达用大篇幅写的那个画廊,就是一个看画的人,看的画就是这个人在看画,然后看的画呢里边又是这个人在看画,所以他就是一个无限循环在里边, 这些画,他用视觉的方式表达出来,让你看,你就知道他在画悖论。我不知道别人呢,但是我从直观上我一看,我就知道他在描述一种就是正常理性,就是在现实生活中很难看到的东西,就是它在描述一种悖论,但是从视觉的感觉呢,比,我就相对于更容易理解,就比你跟我讲什么是罗素悖论,是吧?大多数集合不会包含他们自己,有些集合包含自己,然后这样的集合导致逻辑上的矛盾,然后我得想半天,就是,哦,我得想一个,哦,有一个集合,然后它包含所有的集合,普通,然后它自己是不是也得包含它自己呢?如果你给我讲罗素悖论或者甚至用一些数学方法证明,我感觉就更加的抽象,包括这个说谎者悖论,因为哥德尔他也是用数学的方法来把这个说谎者悖论变成了一个用数学公理来证明他不可能证明的一个东西嘛。所以说我的意思就是说我不知道是不是文科生思维还是怎么样,但是我觉得相比较于音乐, 还有这些数学这些悖论的表达方法来讲,就是从艺术从直观从视觉上反而是最容易理解这些悖论的一个方法,对,所以我才刚才说就是这三个人中,如果说大家是在侯世达试图在表达同一个这个逻辑的话,或是表达同一个与这个哥德尔相关性的话,那我觉得对我来讲艾舍尔我是通过看他的画,我其实是相对来讲更容易的理解一些这个哥德尔不完美定理的一些内容。

艺术与抽象思维:视觉表达的优势

(38:59)

Speaker 2:

(41:29)

嗯, 对, 其实说实话就是, 我觉得绘画这个东西啊, 因为绘画其实是视觉嘛, 对吧?然后呢, 这个音乐其实是听觉, 从视觉的角度来讲, 它体现的这个信息量应该说比音乐还是大一些, 就音乐你基本上, 相当于是个线性的, 你可以认为是个一维的东西, 因为它就是个时间先后嘛, 不同的发音, 对吧?你最多可以认为说多声部可能有点立体性, 但其实还是个一维的东西, 但是绘画其实已经是个二维的东西, 二维的东西呢, 第一它本身表现力就会强很多, 就我们说这个左手画右手, 你说在音乐里你能表达这种自制性吗?表达不了, 对, 它信息量更大, 然后还有一个更有意思的事情, 就是当它提升了一个维度的时候呢, 它就会去跟三维产生一个关系,对吧?就是我们把三维的东西划在二维上,所以呢你就会看到艾舍尔的那些稀奇古怪的,比如上升与下降啊,比如瀑布啊,它的这种矛盾点,这种所谓的怪圈,其实不就是把三维的东西划到二维上才会导致的这种矛盾吗?对吧,其实这个东西呢,也是应该说更深层次的哲学理念是存在的,就是说其实整个包括哥德尔、不完全性定理啊,其实他们都有这种特征,就是我们想用更简单的东西去表达更复杂的东西的时候,其实它的表现力是不足的,这种表现力不足可能会,可能本身就是悖论产生的一个原因,这是个很有意思的事。可能等会我们就会聊到这个话题。

Speaker 1:

(43:08)

那我们就现在就聊吧,就开始到了哥德尔,巴赫和艾舍尔讲完了,然后我们就到了 Will 老师的精神图腾,哥德尔。就为什么说他是 Will 老师的精神图腾呢?因为你不止一次提到过他,而且还把自己的头像换成了他,但是当然微信的头像好像又换回来了。所以我觉得哥德尔好像是一个对 Will 老师非常重要的人。但是我们一会请 Will 老师来仔细给大家讲一讲这哥德尔。那我觉得就是说到哥德尔呢,我看过,没看完,我看了一半,因为我上次写了一篇文章,写完之后有人给我推荐这本书,我就看了大概三分之一,就是哥德尔的自传。然后其实我觉得说到哥德尔他的伟大之处呢,可能就不能不提到这个数学曾经出现过的危机,一会儿我们会聊到这个话题,就是我就觉得 30 年代以前的这个数理逻辑史还有这个数学基础的大厦都曾经被他推翻过,所以我觉得这是一个非常不得了的事情,就因为准备这个节目或者是为了让我更方便的读懂这一批,我读了一些相关的这个数理逻辑史的内容, 我觉得非常非常有意思,觉得 30 年代以前的这个数理逻辑史仔细琢磨就非常非常的有意思,还有很多的细节,甚至可以和现在的某些比如说 AI 人工智能的发展联系起来,我觉得整个这个数理逻辑史,当然我说的可能不对啊,外行,不是理科生,不要老是指正,我觉得一切都是从一件事,就是从一个努力,就是大家试图把这个推理的思维过程变成机械化,就这个努力开始的, 我觉得这个甚至是也许可以作为整本书,就 GEB 这本书,整个计算机人工智能史的一个,不能说中心思想吧,但可能是一个脉络,就是大家试图把思维变成一个机器化的方法。但是问题就在于中间为什么之所以出现了很多起伏或者是矛盾,就是在于这个整个这个思维过程它到底能不能真的被机械化出来,或者它能不能真的是写成算法,甚至是这个有可能跑偏了,这个孟非老师指正,就是甚至是有可能涉及到现在的就最近比较火的话题,那个 scaling law 之争嘛,就是 scaling law 现在是最 hot 的信仰,就是大家觉得因为 OpenAI 的成功,只要把这个模型做得更大, 他们就能够发挥更好的作用。如果我们有一个非常大、巨大、巨深的神经网络,我们有大量的数据在上面训练,我们就是大力出奇迹,就可以解决任何模式识别的问题。但是最近就开始出现很多不太一样的声音,但这个声音一直都有。最近有一篇刷屏的文章就是香港大学那个马骏博士,

哥德尔:逻辑与数学的革命者

(43:17)

Speaker 1:

(45:45)

他那篇文章就说如果你相信只靠 scaling law 就可以实现 AGI, 那你就该改行了。这篇文章是比较火。所以这种不一样的声音就是说如果我们把未来压住在 scaling law 的话,它是一种盲从。现在的深度学习的网络本质上都是低维结构,它就是做压缩,各种压缩,所以它是试图找到数据之间的相关性和规律。但是它压缩了天量的知识,且现在面临一个问题,就是人类留下来的信息和知识很快就要被用光了。那么甚至现在大家开始想是不是能够用 AI 自己制造知识和信息做原材料。但是呢就是知识它是不等于智能的,只靠大力出奇迹扩大模型可能不是正路,所以呢现在大家在讨论需要探索一种新的方法,但这种新的探索呢似乎又回到了侯世达那个问题,他一直是在问到底什么是人类的思维,到底是什么智能,我们到底搞清楚了没有,我们到底就是理解透了没有,好像还没有,那这个时候现代的这些人工智能应该都不是真正的人工智能。这个扯远了,我觉得这一切呢,因为读这段数理逻辑史,然后读哥德尔,还是觉得一切还是跟它非常相关的,因为它,我不知道理解对不对,它好像应该是颠覆了一种一切思维推理都能被形式化、公理化、机械化出来的这种理念,颠覆了整个原来 30 年代前后建立起来的数学大厦的这种基础的理念。对,所以呢就是问问 Will 老师为什么 Will 老师这么欣赏哥德尔,以及就是哥德尔是不是他的最伟大之处是在于推翻了这种数学大厦的基础,那背景又是什么呢?

Speaker 2:

(47:27)

先简单说说哥德尔吧,然后我们就讨论整个这个背景呗。其实我喜欢哥德尔这个主要原因我觉得其实比较简单,就是因为从小看他的东西,就是小孩嘛,你懂的,就是那追星族也都是小孩的时候才追星,对吧,长大了可能也就不追星了。就是说从小就看到这个东西就觉得非常的奇特,因为那个时候多多少少数学啊什么这些东西也懂了,就像上一期聊的对吧,就包括说还跟初中同学一起聊这个话题,那个时候就能够理解到说感觉上这应该是人类思维领域最巅峰的一个成果了,当时就是其实就是这种感觉,所以呢就一直追星追的都比较特别, 所以就一直喜欢这个东西,因为我后边也看了 GEB, 包括学习数理逻辑,公理集合论,数学基础,所有这些东西,有些是在学校学的,有些很多都是自学的,本质上就是喜欢。有些人喜欢音乐,有些人喜欢绘画一样,就是你可能本质上就是喜欢这个东西,就是喜欢这种逻辑思考,然后喜欢这种不管叫数学基础或者叫哲学底层的逻辑或者第一性原理,就 whatever 什么东西,其实本质上还是因为喜欢这种思考的方式,所以当然就对于在这个领域里具有这种思考方式的人, 并且是做出过这么神奇的这个作品或者说成果的人,当然还就是比较钦佩,其实倒没有什么其他的领域,其他的什么特征,当然不是以前你还记得我原来在, 这个听友见面会上还开过玩笑吗?我说这个我是不是有可能是哥德尔转世临重了,对吧?开玩笑。这大概都是小时候的一些想法,对对对。所以我觉得大概就是这样,所以也就会变成自己的一种追求吧。当然这种追求确实在现实世界并不一定很好,对吧?这个因为某种意义上讲,你要做这种事情的话,可能还是得专门的去做。然后这个没有任何的这种,不管是经济上的压力啊,还是社会的影响啊,专注于一个这样子的一个思维领域的推进。我觉得这可能是我追求的一个目标嘛,当然现在也不可能变成那样一个专业工作者了。但是就是这种思考的思维模式可能就一直这么带下来了啊,所以这样的话也就比较喜欢没事经常用用哥德尔的头像作为自己的头像。就类似于这样的意思。这个倒还好吧,可以理解为一个追星的行为。

第三次数学危机:形式化与不完备性的挑战

(47:32)

Speaker 1:

(50:22)

对,就是魏老师追星哥德尔的过程。那我刚才问的那个问题呢?我前面还铺垫了一大段,就是说他的特别之处或者他的伟大之处,因为说到他的伟大之处,其实我的角度是觉得如果我们只是说他发明了哥德尔不完全定理, 嗯,这句话听起来就没有特别的,对我来讲就不能够太体现他的伟大的伟大之处,反而是从他的这种思想或是他提出的这个定理究竟是为什么这么颠覆,或者说在当时他提出来的时候为什么大家觉得这么这么 shock, 我觉得这个才更显示出他的伟大之处。对,所以我就铺垫一大段,是本来是想让魏老师跟我讲讲这个三十年代前后这些树立逻辑史,还有到底是出了啥危机。

Speaker 2:

(51:10)

这个话题确实就是比较典型的数学史的一个话题了。我先讲一下所谓的第三次数学危机。其实本质上都是这么一个话题,就是数学历史上一共有三次危机。可能大家有了解,第一次其实还是毕达哥拉斯学派发现无理数的那个时间点,那个东西也很有意思,后边我们讲到音乐的时候,就是会发现历史又闭环了,很好玩。然后第二次数学危机,当然就是牛顿来做他物理学的时候,他使用微积分的过程当中, 有很多不严谨的地方, 什么无穷大无穷小一大堆, 然后后来才被分析学给搞定,不然就会出现那种各种奇异的结论, 就跟语义学悖论似的, 随便乱用无穷大无穷小就会出现各种问题, 就第二次数学危机。那两次危机呢, 它的性质还是有点差异, 就第一次危机其实是通过扩大人们的认知领域解决的, 也就是说你觉得无理数很无理, 就是很奇怪, 但是最后人们认知就说我接受了, 无理数就是这样一种特殊的数, 就把它扩大了就解决了。然后第二次就有点反过来, 就是说你不能天天扩大呀, 对吧?你又接受无穷大又接受无穷小, 然后随便乱用, 这肯定不行。所以第二次数学危机其实是用缩窄的方式解决的, 也就是说我们要把无穷大无穷小这样的概念用现有的, 其实就是极限的方式, 通过一个数列极限的方式, 用一套逻辑给它定义出来, 在这种状况下呢,就把这个无穷大无穷小可以说就关进笼子里了, 类似于这个意思啊,就是我们用一种严格的数学语言来关进笼子里, 那么到了第三次数学危机的时候呢,恰恰呢就是这么个情况, 就是人们以为说可能像无穷大无穷小, 所有这些乱七八糟的现象都已经被关在笼子里了。那么我们只要把这个笼子建设好, 其实就是所谓数学基础,你也可以叫地基,把它建设好之后呢, 那整个的数学不就完全就清晰化了吗?也就是说我们全世界, 我们要保证全世界的数学家讨论的都是一个东西。我说一个什么数学定理的时候呢, 你也能完整理解它的意思。所以呢, 到了那个时候呢, 大家就以为说我们的数学基础, 比如说那时候的就是康特尔发明的这个补数集合论吧, 然后呢还掺杂着一些也是比较朴素的数理逻辑, 就那个时候数理逻辑也没有成为一个单独的学科, 反正就这些东西大家觉得不错了, 嗯, 就可以了, 然后呢这个所谓当时这个第三次数学危机的引发呢,就是这个弗雷格,他写了一本叫《算术基础》的书。其实意思就是说,我们认为数学的基础已经很完备了。其实就是集合论,

(54:18)

用集合导出 12345678 这个自然数,那么就把整个数学基础就奠定了已经很好了。这就是跟那个当年同一个时代,不是物理学也是这么讲的吗?就是说物理学的所有的理论都已经完善了。以后我们只能小数点后第六位去寻找真理了,就那个时代,就是整个这个 1900 年代,大家都是对于数学对于物理学都是这么个认知嘛,结果罗素呢不就搞出了一个理发师悖论,就说 Frager 这个东西呢是不错,集合论看着很强, 但是呢我给来一个这个所有的不属于自己集合的集合, 对吧, 就是理发师悖论,罗素, 年轻的罗素同志啊, 1901 年的时候干出这么一个玩意儿来, 然后呢就让 Frager 同志痛苦的说, 哎呀我这刚建好的数学大厦就被你给摧毁了, 就是这样,所以实际上呢第三次数学危机就是一个结论, 就是说当时人们以为数学已经很清晰了, 已经很明确了,那么结果一发现不是,被罗素给干翻了。那大家就又在讨论啊,就像我刚才介绍这个语意学悖论似的,就是那大家在想啊,这个问题出在哪儿,对吧?语意学悖论不就是什么信息不完整啊,什么主课题混淆啊,等等等等这些东西。然后第三次数学危机就诞生所谓三大流派, 我想小炮老师可能听过。就是我们要解决这个类似于罗素悖论这样的东西, 就出现三大流派,就是所谓逻辑主义、形式主义和直觉主义。逻辑主义就是罗素本人,他是逻辑主义的坚定支持者,因为是他才发现了逻辑悖论,那你不能不负责任,你自己挖的坑你自己得填。罗素同志说,我认为逻辑学这个东西是绝对不会有问题的,就是罗素悖论,只是说这个集合论还不太完整。但是逻辑学就是我们说的这个命题逻辑。谓词逻辑这个以后有机会再解释吧我就先讲这个背景就是说命题演算、谓词演算这套东西是完整的,他认为呢如果这套东西是完整的,并且无矛盾的,并且是绝对完备的。那么我们只要用它来推出数学,那么数学也就完备了。也就是说我不把数学建立在这个集合论的基础上,我就直接挖到根根上。第一性原理就是逻辑, 对吧?因为我们人类几千年来也是用逻辑思考的嘛。既然我们人类用逻辑思考, 而且人类发明了数学,那数学显然就是奠基在逻辑基础上的这么个东西嘛。这个其实是很容易理解的一种学派。所以罗素呢就写了一个数学原理, 还比照先贤,就是特意把这个牛顿的那个自然哲学之数学原理, 后边的这个数学原理给他取出来。管自己名字叫这个, 英国人嘛, 就喜欢干这事儿。

(57:23)

然后呢, 这本书论证的就是我用逻辑, 就是用这种命题演算位置演算, 一定能导出数学。于是乎呢就诞生了著名的论证。就是在这个数学原理这个第一版的时候呢,他在第 379 页啊,这这数因为好比较好比较好记啊,这个不是比较好记,就是记历史的可能都会记住这个数,就是在他第一版的第一卷第三百七十九页里边,终于写出来说。如上所述,根据这些结论证明出一加一等于二。这就是罗素同志的逻辑主义。这个这个著名的论证啊,然后呢,那你想这东西拿出来之后,数学家一看这哪行啊,对吧?这个据说有数学家,我忘了是庞加莱还是外尔,就是因为我后来没查到这个信息,就是说给他酸酸的点评了一句,说这是一部伟大的著作,献给那些不知道一加一等于二的人讽刺他。这是历史背景。这先说完了,等会再说到哥德尔。然后第二个就是所谓形式主义。形式主义的代表人物当然就是希尔伯特了,大卫·希尔伯特。这个实际上在侯世达的序言当中明确提到了。希尔伯特说这个东西有个问题,说其实数学的这些证明不就是一堆符号的操作嘛,对不对?你这个就是因为所以什么第一个公式,推出第二个公式,这是证明就是一套逻辑规则。如果我们不要考虑这个数学的意义,就不要考虑什么 1 是代表什么一个苹果还是一张桌子,没有必要考虑这些事对吧。我们也不用考虑微积分是什么什么什么,你是砌墙用的,还是算导弹用的,用不着。

Speaker 1:

(59:19)

我把所有公理都确定好了就行了。

Speaker 2:

(59:21)

就是一堆形式符号,那么公理的意思就是我就给六个或者五个公式,这就是初始的形式符号,然后用这些形式符号推出所有的数学定理。那这事儿不就齐合了嘛,对吧?你先不要着急说它的底层意义是什么,因为罗素就等于说我追求数的底层意义嘛,是人类的思维是怎么产生一加一等于二的,对吧?希尔伯特说不用,我们就是一套符号的规则,这套符号的规则呢其实也有点像现在的计算机吧,类似这个意思。总之呢,希尔伯特的意思呢,就是说我有一个形式的系统呢,我推出这个所有的定理,这事就了了。但是呢,这个里边就有个严重的问题,就是其实侯士达在这个序言当中讲,就是说你如果不去看数学的这些符号都代表什么意义的话, 那么你的这个一套形式符号,你怎么保证自己既一致又完备?也就是说你怎么能保证自己里边不会出矛盾,又保证自己是所有的命题,所有的定理都能证明出来呢?对不对?这就像是你揪着头发把自己往上拎嘛就是你证明不了自己的正确性你光说这套符号它就是正确的那有啥意义呢?你不还得诉诸于它的实际的意义吗?对吧?就像比如说罗素就诉诸于逻辑的思维。或者说呢你就是说比如说对于物理学而言,那我诉诸于说我这个数学符号,其实还是跟现实世界有对应关系,我才计算这些东西。所以希尔伯特呢他遇到最大的问题就是我摆弄出一堆形式符号。我怎么能说明自己这套形式符号就是对的?所以希尔伯特就提出了一个所谓的纲领,就是说这没关系,我们大家不都知道公理的意义吗,对吧?就是有五个公理就能推出一切。那我们有没有办法说我们同样用这五个公理,用点什么招数能够证明自己是一致且完备的啊,他就提出这么个东西。那这个东西大家一看这就不靠谱嘛,这就纯粹是循环论证出来。对啊,循环论证嘛,你这就循环论证,就是揪着自己的头发拉上去。所以呢。这个事情呢,他就变得也不太行,就大家觉得这个也不行,那么于是乎呢还有第三派的人,第三派的人呢其实就是这个所谓的直觉主义。这个直觉主义呢,客观说就是绝大部分数学家的观点。因为数学家就是我们就是做数学的,对吧?我们拿了数学还能干别的,还能做物理,还能做什么工程。我管你这个数学底层是怎么来的,对吧?你不要瞎讲,说一会儿又是从逻辑思维来的,一会儿又是什么纯粹一套形式符号,不用管意义。我们不关心。直觉主义的著名论断应该是庞加莱做的,就是说自然数是上帝创造的,其他都是人为的,也就是说他不认为数学还有什么根源。自然数就是自然数,它就是自己的根源,不能再追根源了。

(1:02:31)

再追根源就是罗素这种,对吧?连 1 加 1 等于 2 都不知道的人还得先读 379 页书才能知道 1 加 1 等于 2 吗?不可能的。所以说数学家们普遍其实是直觉主义的支持者。那这里边问题就来了,但是直觉主义这个事儿好像它没有论点,就是说它没有体系,你理解吧?因为形式主义和逻辑主义都有体系啊,对吧?说的都很头头是道,逻辑主义说,你看我写这么厚一本书,证明数学是从逻辑来的。然后希尔伯特呢说,你看你们再怎么折腾呢,你不过也都是在操作这堆形式符号嘛,那我把形式符号搞理所不就行了?直觉主义的意思就是说,你们说的都不对,数就是数。但是他们就显得好像没有什么特别成套的体系,就不如前两者高大上。这个时候哥德尔就横空出世了。他自己怎么想的,客观说我也不知道,上次咱们聊到过就是说他受到逻辑实证主义的一些影响,这是肯定的,因为他参加维也纳小组,但是按理说你说逻辑实证主义是不是应该偏向逻辑主义呢?这种可能性是比较大的,因为罗素就是逻辑主义的这个奠基人嘛,然后维特根斯坦写的这个逻辑哲学论其实简单的说就是一个初等的一个数理逻辑的这么一个论述。所以按理说他偏逻辑是应该的, 因为他自己就是个数理逻辑学家嘛。但是呢他本人确实更倾向于说就是逻辑实证主义这点啊, 就是这个特征。你们说的这些都是一些哲学观点,对吧?这个包括罗素的这个逻辑主义,你别看你写了这么宏偏具质,你就论述个一加一等于二,这听起来这好像也不太靠谱,说我们不要去老谈论这些哲学观点,这也是维特根斯坦的想法嘛,就是说不要空谈,那你们说的这些都有没有精确定义呀?能不能事实证明啊?所以哥德尔呢, 他就另辟蹊径。我相信从这个角度来讲,他是支持直觉主义的。也就是说,我们不能再去假定一这个东西是基于别的东西。那么我反过来理解,就是说,你罗素既然认为逻辑能诞生数学,OK,没问题,我假定你是对的。那么,我有了数学这个工具之后,那我就可以做所有事了吧。所以,哥德尔就发明了他的著名的所谓哥德尔数的这套体系。也就是说,他把所有的逻辑的语句能够编成数学运算。也就是说,他的这个最核心呢是说,把语句变成数,这是第一步。第二步是把整个一个证明过程变成一个计算方法。这其实就是现代计算机的前身了,可以这么说。它做了这个东西之后,就直接得出了一个结论就是所谓哥德尔不完全性定理。哥德尔不完全性定理的原始论文就是说罗素的数学原理构造出这套体系当中会存在这么样一个命题。

(1:05:50)

就是剑锋直指罗素的数学原理。说白了就是用出来挑战罗素的数学原理的。所以他这么一搞之后呢,大家就发现了一个问题,就是说假定逻辑能够导出数学的话,那么数学就一定反过来导出。逻辑上的一个既不可证伪,也不可证实,但是又是真的命题。而这件事情是逻辑上自己导不出来的,然后他也很难接受。对吧?就是你从逻辑思维的角度,你很难接受这样东西的存在,而且你从逻辑的角度呢,自己导不出来,这个等会我说一下啊,这里面其实就隐藏着哥德尔不完全性定理的一个最核心的一个结论,其实可能大部分都不太了解,就是说我们先说完这个事啊,就是说从这个角度来讲呢, 罗素就会发现说, 诶, 说那照这么个角度来看的话那我这个关于所有的东西都能够从逻辑导出并且还既是一致的, 不矛盾的, 而且也能够完备的这个理论就站不住脚了, 对吧?因为我一旦导出数学那数学就会当中存在的这样一个不完备的东西在这个角度看呢, OK 那我这个逻辑导出数学的这个大厦也是刚建好就崩塌了,就像是我当年看弗雷格写的那个算术基础之后,就抛出了一个朴素集合论当中解决不了的问题,把人家搞塌了一样。现在这个报应了,就是我搞出这么大的东西,也被人家给搞塌了。所以呢从这个角度来讲呢,就是其实逻辑主义就被哥德尔不完全性定理给否定了。然后呢,紧接着这个事还没完就回到下一个话题,就是哥德尔不完全性定理。既然引出了这么一个命题之后呢,它就存在另一个形式。就是说所谓的哥德尔第二不完全性定理,其实这是一个形式上或者哲学上的一个元素,学上的一个定理。就是等于是说任何一个形式系统,它也不可能就是任何一个可以导出数学的形式系统,它也不能证明自己是一致且完备的。对吧?因为这就很简单了嘛,如果你能证明自己是一致且完备的,那你就是一致且完备的咯,那你怎么会包含哥德尔的这个不完全性定理当中存在的这个命题呢,对不对?所以其实所谓的哥德尔第二不完全性定理就是把形式主义也干趴下了, 就是希尔伯特说的我想用一套公理还能够导出所有的定理不说,我还能证明我既是无矛盾的也是完备的,这件事也搞不定了呀,对吧?因为你如果能证明自己你跟哥德尔不完全定理也是矛盾的,所以等于哥德尔就用他的这一套东西就是同时把逻辑主义跟形式主义给干趴下了,那我们只能说结论就是那数学是属于直觉主义的,也就是说直觉主义是对的,也就是说一二三,对,一二三这个东西它不依赖于其他的东西的存在,它就是人类本身的直觉。

Speaker 1:

(1:09:21)

好的,刚才 Will 老师整个的树立逻辑还有就整个这一段一二三次的数学危机的这个过程讲得非常有意思,我都听入迷了。嗯,其实这么听,就用这个魏老师这种评书的方式一讲,反而是比看书是更清晰了,而且非常非常的生动。我觉得实际上因为我的理解不如魏老师,呃,这种专业的学数学的这个专业人士这么清晰,但是我在读的整个过程中,从我的这种文科生的头脑的理解,我就觉得整个这个过程是非常有意思的,整个一二三的危机, 然后最后联系到我们想跟大家讨论的哥德尔。我有这么一种感觉,我是觉得自从人类发现就是自己和其他动物最大的不同就在于咱们有推理的能力,自从人类发现这一点之后呢,好像这个历史上就许多聪明的头脑就突然间开始大家都在想, 啊,那既然我们跟动物有这种不同,有逻辑思维,逻辑推理的能力的不同,那我们能不能把这种推理过程机械化呢?或者是把它形式化呢?我不明白为什么聪明的人都喜欢把东西形式化。我觉得刚才魏老师也提到这个,比如说从几何,非欧几何就是一个挺好的开头,它就是我觉得我感觉它就是世俗在挑战原来的几何学,世俗在挑战形式化,嗯,但它也只是一个很小的开头。在后面就是各种更聪明的人与更聪明的方式,更严密的方式,各种形式化的反扑。好像理科生和数学家们都很迷一种试图可控的机械化的方法,总觉得人类语言或者是思维还是不够清晰,不够严谨,反正我们一定要更清晰,更准确,更机械化。然后才出现了刚才魏老师提到这个希尔伯特他说那句话就是自然科学不可能存在不可知,一切都是可知的,所以我们必须知道,我们必将知道,就不是他特别有名的一句话吗?所以好像刚才也就像魏老师说的,好像只有我们把这个数学中的所有公理都确定好了,然后后面的事就大家修修补补就行了,肯定没有大问题,反正我这个数学体系建好了,至少在数学里我就没有我不知道的事儿,嗯,但是呢还是哥德尔横空出世,嗯,刚才魏老师给大家详细介绍了这哥德尔不完美定义一和二,嗯,就基本上是一个在当时的这种试图形式化的努力中,我自己感觉是一个非常大的颠覆,嗯, 而且呢, 就是如果从后来我们又转到了这个直觉论, 所以说如果我们真的是用哥德尔的眼睛来看世界呢, 就好像把这个整个世界画一大圈, 就不管有多大, 即使是你把整个宇宙都包括, 其实你也没有办法把所有的真理都包进来, 里边总会有一些人类数理逻辑思维没有办法解释的内容。那圈外是什么呢?

逻辑的局限与数学的超越:直觉主义的启示

(1:09:29)

Speaker 1:

(1:12:10)

那一定是人类理性思维局限之外的存在,就是所有的数理逻辑,自然规律,人类我们已知的已知中,所有的不可知,那是圈外的。所以呢,那是什么呢?那,那可能只能是上帝或者是神,嗯,所以说这圈可以花得无穷大,但是这种不可知的东西,我们所谓的这个上帝呀等等,这个数到底是怎么来的等等,可能永远在圈外,嗯,呃,所以我觉得整个过程非常非常的有意思,嗯。

Speaker 2:

(1:12:39)

对, 呃, 其实这个正好刚才我补充一下刚才有一个话题没有说到的很关键的一点, 嗯, 其实人类的这种思维逻辑啊还真是一个怎么说真的是一个完备的东西, 也就是说整个的人的逻辑思维啊就是我们所期望的那种一致且完备的东西, 也就是说,逻辑思维真的就是第一,自身可以做到完全无矛盾,第二,所有的逻辑上的真的命题一定都会被我们证明,这是逻辑的一个特征,这个特征其实也是哥德尔证明的,这就是特别神奇的一个地方,就是哥德尔在证明所谓的哥德尔不完备性定理之前的大概两三年的时间,还证明过一个哥德尔完备性定理, 这个定理大部分人是不了解的,因为这个定理不是特别有名的原因,是因为它基本上就是在前人的成果上很简单的就证明出来了,但是这个完备性定理讲的是什么呢?讲的就是我们的这种一阶逻辑,也就是所谓命题演算为此演算这套系统,就是一致且完备的,也就是说既不会出现矛盾,也能保证所有真的命题不会出现逻辑悖论,不会出现这种怪圈。这个定理出来以后,再加上不完美性定理,他们两个加起来, 才能够得到刚才说的那个直觉主义的结论。也就是说 12345 这样的东西, 它是不能被逻辑所包含的。就是这两个定理加起来才能得出来, 因为逻辑本身是一致且完备的,但是包含了自然数之后, 就不能做到一致且完备了。那就是这个自然数就一定不能被逻辑所推出来, 对吧?其实是这么回事。所以刚才, 小炮老师说的这个事就很有意思,就是人类其实还没有特别狂妄,人类对于自己的逻辑思维的认知还是挺厉害的,它真的就是对的,就是没毛病的,但是问题就来了,因为自然数是个人类逻辑思维之外的东西,它是上帝植入我们的大脑当中的,是我们本性当中超越逻辑的那一部分, 是这个点才让这件事情变得最有意思。所以从这个角度来讲呢, 这就是个最有意思的事儿。对, 可能就是个怪圈。也就是说, 怪圈其实是存在于数学当中, 而不是存在于我们逻辑当中。这是个非常神奇的东西, 就是哥德尔揭示的这个不完备性定理的最根本的哲学意义, 其实在这里。

Speaker 1:

(1:15:47)

对的对的,这个就非常非常有意思,因为我们刚才也聊到过就是其实哥德尔是受这个说话者悖论的这个启发,他是把这种自指的方法用到数学的隐续中,就相当于是他把这些我们平常说的什么脑筋急转弯啊,悖论啊,他转换为数学的形式,他就构造一个特殊的数。这个树就哥德尔树,但是它这个树是个自然树,然后呢就所有的定理公理,就刚刚魏老师说的还有命题,都包括整个的证明过程都用一个树自然树来表示,只要一个自然树能够用来代表就是一句话或者是用来代表语言陈述,那么这种数论陈述就可以是关于一个就是它本身的,你就可以用这个数来代表,就有一种指设就是这种陈述,数论的陈述就可以是关于一个数论陈述的陈述,这个说的太绕了,不知道表达清楚没有,然后呢就用这种方法就是把说谎者悖论就转换成数的表示方法,数论形式的方法。那么他就能够找出一个就是在这个刚才 Will 老师说数学原理中不可证但是却是真的东西,然后就说明了这数学理中的系统是不完全的,就是这种真的是像 Will 老师说因为你把数引进来了,那么在一个形式中也许人类的思维人类的形式它本来是一个严谨的逻辑,但是由于我们需要用这个数来证明一些就是内部为真且不可证明的命题,我现在已经说晕了, 不知 Will 老师能不能理解我的意思。所以说他接受了这个数学基础的不完备性。所以这种方法呢,我现在已经把自己说晕了,但是总而言之,言而总之,就是哥德尔定理对当时这些致力于建立这种数学基础的这种逻辑学家、数学家,就甚至包括哲学家他们产生的影响,我可以感觉到是相当的震撼的。所以说很多人把它拿跟量子力学来相比,他们的革命性基本是一致的,是能够理解的。

Speaker 2:

(1:17:53)

对,其实从这个角度来看,哥德尔他只不过证明了一件事, 其实数学是严格强于逻辑的,就用数学语言的表达来讲就是这样,就是数学其实是可以导出逻辑的,对吧?因为哥德尔不完全性定理就是这么一个证明过程,就是我把所有的逻辑符号编成数,然后让他们相互运算,就可以把整个逻辑当中导出来,但是逻辑却导不出数学来,因为逻辑本身是自洽的,但是数学却是存在着这种看上去不自洽的东西。所以从这个角度来讲呢,就是数学才是这个怎么讲,数学有可能才是万物之灵的一个特征吧,就是逻辑有可能不是。

Speaker 1:

(1:18:37)

这个其实我们后面还可以再仔细聊一点,我其实还是真对,就是这个就是这个直觉主义需要比较了解。对比较了解这个哥德尔不完全性定理的特征,以及直觉主义的这种。

Speaker 2:

(1:18:51)

观点,对,才能够,对,我们可以深入再讨论。

Speaker 1:

(1:18:54)

对,是的,是的,我,我写过一篇特别短的文章,就是跟直觉主义其实是有点关系的,也就是我刚才论述的那一段,就是这个圈之外的东西到底是什么?其实我非常想听听 Will 老师的逻辑,就是说,嗯,甚至是包括我们怎么证明上帝是存在的还是不存在的?嗯,那么他跟直觉主义是一个什么样的相关?我觉得那个讨论是会更有意思的。我们可以把它放在后面未来的几期。嗯,我们今天本来还是还留了一个话题,就是讨论一下哥德尔不完美定理和图灵机,就刚才魏老师提到过他们之间的就是相关性,嗯,以及想聊一聊人工智能的极限,但是我这眼看就两小时了,然后我觉得大家经过今天的讨论也开始有点意识到就是读这本书的难度,嗯,至少是对非理科生来讲,嗯,但是没关系,我们可以把这些有趣的话题,呃,在未来的节目中慢慢跟大家讲。要不我们今天就先到这,让大家消化一下这个哥德尔。

同构与交流:理解与误解的边界

(1:19:55)

Speaker 2:

(1:19:55)

OK, OK,我这正好,那这里补充一个点啊,也作为以后的一个引子吧,就是今天其实看这个就是侯士达的这个序言,其实他在里边已经提到了所谓同构的概念,这个同构的概念呢,客观说可能其实才是贯穿本书的史中的最核心的概念。我想有可能在后面找一期专门来聊这个话题,也许结合某一章或者结合某个话题。那这个事情为什么重要呢?其实跟小波老师刚才提的那个问题其实是很相关的,正好就用这个同构的概念来解释一下。其实数学家们,他们也不是特别就是嫌弃无聊,就是说我为什么非得把那个整个这套计算方式给他逻辑化,就是变成计算机那样子你知道,就是说特简单的机械化就行,而是说就是因为历史上这几次数学危机,当然也包括物理学危机,让这个人类呢, 也有点不自信。就是说我们讨论这些数学问题, 会不会是因为我们相互之间有什么误解?就比如说我们说的这个词不是一个含义, 对吧?就像语义学悖论当中的各种各样的原因似的, 其实都是莫衷一是。也就是说大家这种机械化的倾向, 主要的还是为了让大家能够理解起来, 更方便,就是至少能够让两个数学家在聊天的时候知道他们所有的话都是一样的,表达的是一个意思,那这个方案最简单的就是那我们就不要依赖于人嘛,因为你要不然你说中文我说英文这个东西搞不好翻译给我们翻译错了那咋办呢?所以其实就是追求这种形式系统, 是啊, 我就很迷的一点就是大家对这个准确性的追求理科生是非常最明显的,尤其是数学家理科生, 包括 Will 老师在聊天的过程中也可以感觉到对, 不然的话我们就非常担心因为我们产生误解导致这个数学当中或者其他的学科, 因为绝大部分学科都会用到数学嘛如果我们这根本产生了误解这个定理, 其实我说证明了你一看可能也不是那么回事,然后你认为我没证明对,结果发现是翻译的错误,那咋办呢?所以其实最后大家就想说,我们这套形式符号,这套整个推算的过程根本不依赖于人,就不像是当年牛顿那样,我弄出个无穷大无穷小,然后随便用这种模式,从这个角度来讲呢,其实这就是不管叫数学家还是理科生用来希望这件事能够 work 的一个根本的动机,而这个东西其实就反映了背后一个底层的逻辑,就是希望我们两个人之间的交流其实是在我们各自脑子里产生的这个结论是一样的,这实际上是同构的一种类型,这个咱们就以后可以再聊一聊。

Speaker 1:

(1:23:14)

好的,可以聊,但是这种我就再加最后一点,就是那么这种理念呢实际上反而是被文科生比较抵触的或者比较抵制的, 因为刚才 Will 老师讲的这套逻辑实际上我觉得是在某些学科内或者是在某些范围内大家是需要这样的,需要一定程度的准确性和统构性以及不依赖于人,但是如果说我们在这方面取得了飞速的进展,那么觉得把这方面的理念或逻辑可以扩展到人类社会的其他方面,我觉得就会产生一些混乱,就是最明显的例子就是经济学, 对吧,如果我们这个其实已经造成了一些问题,就是因为这个模型化或者是数理逻辑的这个威力太大或者是它的进展太快,以至于大家这个我们的野心越来越大,就觉得这个人类社会中的一切东西,一切现象都可以用这种非常严密的逻辑或数理化的方式或者模型化的方式来理解。那么作为这个更多是文科生思维的我来讲,我觉得肯定会有一部分东西,相当一部分东西是没有办法进入到这个体系中的,但这个我们可以未来再慢慢地讨论。

Speaker 2:

(1:24:25)

对,这个是另一个话题了,对,就是说数学家追求的是数学本身的基础的一致性,他其实不关心数学的应用,你说的是数学的应用可以随意,这个没有关系,其实跟数学家的想法不矛盾。

Speaker 1:

(1:24:43)

对,包括这个 GEB 这本书里面的很多逻辑,我读的时候我的强烈的感觉就是它是在一定的限定的体系内,数学的体系内是非常惊叹,是应用的非常好的,但是它并不一定能够延伸到就是我们这个人类社会中,或者说这个其他的学科,或者是其他的这个数学以外的这些逻辑,它都适用,如果觉得那个也适用,可能会产生一些问题。我的感觉是这样,我是觉得它是有一定限定的这个范围的。就好像是,这个我们下一期再跟 Will 老师聊吧。

Speaker 2:

(1:25:16)

当然,这个完全正确,因为所有的东西都有范围嘛,对。这个哥德尔不完全性定理,它是一个数学定理,对。

Speaker 1:

(1:25:24)

嗯,是的,是的,嗯。那我们就只要不带过多解读,或者说一切的理论或应用或逻辑它是有一些先天范围的就可以。

Speaker 2:

(1:25:32)

对,你的意思是你听到有些观点认为这套东西可以呃,适用于世间万物吗?

Speaker 1:

(1:25:41)

对,是的,这个具体例子我们,呃,下一期我会给这个魏老师讲一下,或者说列出来,就是我觉得这也是一个人类经常会犯错的地方,他经常会误用,嗯,那么其实在一个相当完备的封闭的体系,嗯,或者是他有一定高度限定的范围应用的东西,反而大家会把它作为这个 general law 来应用到其他的地方,就觉得就不太合逻辑了,嗯,就他相当于是不是一个层面的逻辑, 但是这个越讲越多,下次再给他讲这个 case。

Speaker 2:

(1:26:14)

我总结一句就知道,因为我们刚才结论其实就是连一这个东西都是没有一个严格的定义的,都是来自于人的直觉,所以你说的这个问题其实在数学家,就是真正理解数学的数学家眼里它根本就不是个问题,也就是说真正理解哥德尔不完全性定理的数学家是不会追求把逻辑推广到这个世界的所有领域的,因为他们把逻辑推广到一上面, 都不成功,对吧?所以其实是不会有这个问题的。恰恰是不懂数学或者没有学习好哥德尔不完全性定理的人,他们可能容易犯这样的错误,就像罗素同志那样,希望把逻辑推广到一切,这个是很正常的。所以这就是哥德尔的最伟大的贡献,就在这。

Speaker 1:

(1:27:12)

对,好,那我们今天先折磨大家,折磨到这里,我们下期再见。好,谢谢 Will 老师,谢谢大家,那我们下期再继续解读。

Speaker 2:

(1:27:22)

好,拜拜。

Speaker 1:

(1:27:23)

拜拜。

Unknown Speaker:

(1:27:47)

Hi.

Shownotes